Función de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

μ(n) está definida para todos los enteros positivos n^[1]​ y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

Así, se define la función de Möbius como

${displaystyle mu (n)={egin{cases}(-1)^{omega (n)}=(-1)^{Omega (n)}&{mbox{si }};omega (n)=Omega (n)\0&{mbox{si }};omega (n)<Omega (n).end{cases}}}$

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

La tabla de valores de μ(n) para los veinte primeros números enteros positivos (sucesión A008683 en OEIS) es:^[2]​

Los 50 primeros valores de la función μ(n), representados en la gráfica siguiente:

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.

${displaystyle sum _{d|n}mu (d)={egin{cases}1&{mbox{ si }}n=1\0&{mbox{ si }}n>1.end{cases}}}$

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

${displaystyle M(n)=sum _{1leq kleq n}mu (k)}$

para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.