En la microeconomía, la función de gasto describe la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita para lograr un cierto nivel de utilidad, dada una función de utilidad y precios.[1]
Formalmente, si hay una función de utilidad
que describe las preferencias sobre las
mercancías, la función de gasto
establece qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad
si los
precios son dados por el vector de precios
. Esta función es definida por
donde
es el conjunto de todas las canastas que dan utilidad al menos tan buena como
.
Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto
sujeto a la restricción de utilidad mínima que
dando cantidades óptimas para consumir de los distintos bienes como
como funciones de
y los precios; entonces la función de gasto es:
Suponga que
es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en
. Entonces
es
Pruebas
(1) Como en la proposición anterior, nótese queː
(2) Continúa en el dominio
:
(3) Sea
y suponiendo
. Entonces
, y
. De ello procede que
.
Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunas
,
Que, para algunos
,
, que contradice la conclusión de "sin exceso de utilidad" de la proposición anterior
(4) Sea
y suponiendo
. Entonces,
y
, por tanto ![{displaystyle e(tp+(1-t)p^{prime },u)=(tp+(1-t)p^{prime })cdot xgeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d0fde374c58ea58e9e7aa41c687a35a90256e0)
.
(5)
Suponga que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas
que genera las funciones de demanda[2]
donde
es el ingreso del consumidor. Una manera de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta e invertirla. La función de utilidad indirecta
se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, por tanto:
donde
De esta manera, dado que
, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto:
Alternativamente, la función de gasto puede encontrarse solucionando el problema de minimización
sujeto a la restricción
Esto produce funciones de demanda condicionadas
y
. Por tanto, la función de gasto es