Generador de un ideal

Sea ${displaystyle A}$ un dominio y ${displaystyle X}$ un subconjunto de ${displaystyle A}$. Si ${displaystyle I}$ es el mínimo ideal de ${displaystyle A}$ tal que ${displaystyle Xsubseteq I}$, se dice que ${displaystyle X}$ es el generador del ideal ${displaystyle I}$ o, equivalentemente, que ${displaystyle I}$ es un ideal de ${displaystyle A}$ generado por ${displaystyle X}$.

El ideal de ${displaystyle A}$ generado por el subconjunto ${displaystyle X}$ de ${displaystyle A}$ se denota comúnmente por

${displaystyle ~(X)}$

Cuando ${displaystyle X}$ es un conjunto finito, digamos ${displaystyle X={x_{1},ldots ,x_{n}}}$, se dice que el ideal ${displaystyle (X)}$ es finitamente generado y se representa comúnmente por ${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})}$. En particular, si ${displaystyle ~X={x}}$ (i.e. si ${displaystyle X}$ contiene un solo elemento), se dice que ${displaystyle (x)}$ es un ideal principal de ${displaystyle A}$.

Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).

Todo subconjunto ${displaystyle X}$ de un dominio ${displaystyle A}$ es el generador de algún ideal de ${displaystyle A}$, pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a ${displaystyle X}$ (e.g. el propio dominio ${displaystyle A}$). El ideal de ${displaystyle A}$ generado por ${displaystyle X}$, ${displaystyle (X)}$, puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,

(1)${displaystyle (X)=igcap I_{i}}$

donde cada ${displaystyle I_{i}}$ es un ideal tal que ${displaystyle Xsubseteq I_{i}}$.

Si ${displaystyle X,Y}$ son subconjuntos de ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle Xsubseteq Y}$, claramente ${displaystyle (X)subseteq (Y)}$

Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que

(2)${displaystyle (X)={a_{1}x_{1}+cdots +a_{n}x_{n}|;a_{i}in A {mbox{y}} x_{i}in X;forall iin {1,dots ,n};nin mathbb {N} }}$,

por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de ${displaystyle X}$, y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).

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