Grado (teoría de grafos)

En Teoría de grafos, el grado o valencia de un vértice es el número de aristas incidentes al vértice. El grado de un vértice x es denotado por grado(x), g(x) o gr(x) (aunque también se usa δ(x), y del inglés d(x) y deg(x)). El grado máximo de un grafo G es denotado por Δ(G) y el grado mínimo de un grafo G es denotado por δ(G).

Un vértice con grado 0 es un vértice aislado. Un grafo formado exclusivamente por vértices aislados es un grafo vacío. Un grafo donde todos los vértices tienen el mismo grado es un grafo regular, y un grafo no dirigido de n vértices en que todos los vértices tiene grado n-1 es un grafo completo.

Otra forma de definir el grado de un vértice es a través de su vecindad. La vecindad de un vértice x , denotado como ${displaystyle N(x),}$ está dado por todos los vértices adyacentes a x.

de modo que el grado del vértice x es el número de vecinos que tiene: ${displaystyle g(x)=|N(x)|,}$.

El Lema del apretón de manos determina que la suma de los grados de un grafo simple (es decir, sin bucles) y no dirigido equivale al doble de su número de aristas:

Lema del apretón de manos. Dado un grafo ${displaystyle G(V,E),}$:

Su demostración es una prueba del doble conteo: como cada arista tiene dos vértices extremos, es contada dos veces.

Algunas implicaciones del Lema del apretón de manos son:

Dado un grafo simple no dirigido ${displaystyle G(V,E)}$, el grado promedio^[2]​ o grado modal medio (que denotaremos ${displaystyle {ar {g}}}$) es un estadístico definido como el grado promedio de los nodos:^[3]​

Dado un grafo simple no dirigido ${displaystyle G(V,E)}$, la varianza de los grados, que denotaremos ${displaystyle S_{D}^{2}}$, mide la variabilidad de los grados de los nodos. Formalmente se define como:^[3]​

Si el grafo es regular, es decir, los grados de todos sus vértices son iguales, entonces ${displaystyle S_{D}^{2}=0}$.^[3]​

En el caso de los grafos dirigidos o dígrafos, se suele distinguir entre grado de entrada ${displaystyle g^{-}(x),}$, como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice final, y grado de salida ${displaystyle g^{+}(x),}$, como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice inicial, de forma que ${displaystyle g(x)=g^{+}(x)+g^{-}(x),}$.^[3]​

El Lema del apretón de manos también es cierto en los grafos dirigidos. Para ello hay que distinguir para cada nodo entre grados de entrada y de salida. Por lo tanto, el Lema se expresa del siguiente modo:^[3]​

Por lo tanto, en este caso el grado de entrada promedio ${displaystyle {ar {g}}^{-}}$ y el grado de salida promedio ${displaystyle {ar {g}}^{+}}$ coinciden, y se definen como:^[3]​

Por otra parte, la varianza de los grados de entrada (${displaystyle S_{D^{-}}^{2}}$) y de salida (${displaystyle S_{D^{+}}^{2}}$) no necesariamente van a coincidir, quedando como sigue:

Ambas varianzas miden la variabilidad de grados entre los actores de la red.^[3]​

Una secuencia de grados o lista de grados de un grafo no dirigido es una secuencia de números, los cuales son grados de los vértices de algún grafo. Para el grafo de la primera imagen su secuencia de enteros es (3, 3, 3, 2, 2, 1, 0). La lista de grados es un invariante (topológica) de un grafo, aunque dos grafos con igual lista de grados no son necesariamente isomorfos.

Un problema interesante es determinar si una secuencia de enteros no negativos cualquiera es o no gráfica, es decir, es una secuencia de grados de un grafo (simple). Erdős y Gallai^[4]​ (1960) resuelven el problema con su teorema de existencia, mientras que Havel^[5]​ (1955) y Hakimi^[6]​ (1962) nos entregan un teorema de construcción que justifica el Algoritmo Havel-Hakimi para construir un grafo a partir de una secuencia de grados.

Teorema de Erdős-Callai. La secuencia de enteros ${displaystyle d_{i},}$ con ${displaystyle i=1,...,n,}$ es una secuencia de grados de un grafo simple, si y sólo si:

Teorema de Havel-Hakimi. Una secuencia de enteros ${displaystyle d_{1}geq d_{2}geq ...geq d_{v}geq 0}$ es gráfica sí, y sólo sí también lo es la lista: ${displaystyle d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{v}}$, que resulta de eliminar el primer elemento y restar una unidad a los siguientes ${displaystyle d_{1}}$ valores de la lista.

En análisis de redes sociales, el grado se considera la primera y más sencilla de las medidas de centralidad. En particular, el grado de salida puede considerarse en muchos casos como una medida de «expansividad», y el grado de salida, como una medida de «receptividad» o «popularidad». El hecho que los grados de entrada y salida de los nodos de una red social sean parecidos, puede considerarse a su vez una tendencia hacia la «mutualidad». Además, dependiendo de los grados de un nodo o actor ${displaystyle v}$, este se puede clasificar en:^[3]​

El grado modal medio es un estadístico que entrega información sobre una red social. La varianza de grados se considera además una medida de centralización de la red.^[2]​