Grupo de trenzas
En matemáticas, el grupo de trenzas de n hebras, también llamado grupo de n-trenzas o grupo de Artin, notado por Bn, supone una generalización del grupo simétrico Sn introducida explícitamente por Emil Artin en 1925.
Cada elemento del grupo (trenza) admite una representación geométrica intuitiva en la que este se visualiza como un conjunto de n hebras que unen los n elementos situados en una fila con sus imágenes reordenadas situadas en una fila paralela. Una trenza reúne información topológica sobre la forma en que estas hebras se entrecruzan.
Para , Bn es un grupo infinito. B2 es un grupo cíclico y para , Bn es no abeliano.
Los grupos de trenzas tienen aplicación en teoría de nudos, pues según el Teorema de Alexander, todo nudo o enlace puede construirse como el cierre (en un sentido precisado por el teorema) de una trenza.
Consideremos dos conjuntos cada uno de cuatro objetos situados en una mesa. Dibujaremos los objetos de cada conjunto alineados verticalmente. Usando cuatro hebras, cada objeto del primer conjunto quedará conectado con un objeto del segundo. Llamaremos trenza a un conjunto de estas cuatro conexiones.
A menudo las hebras tendrán que pasar una sobre otras, y este detalle es crucial, pues distintos cruces pueden dar lugar a diferentes trenzas:
Por otro lado, dos conexiones aparentemente distintas pueden representar la misma trenza si tensamos los extremos:
Todas las hebras deben moverse de izquierda a derecha, para evitar la formación de "nudos" como el de la figura, que no son considerados trenzas:
Cualquier pareja de trenzas puede componerse dibujando una a continuación de la otra, identificando los cuatro puntos intermedios:
La anterior composición convierte al conjunto de trenzas en un grupo. El elemento neutro es la trenza que consta de 4 hebras horizontales y paralelas. El elemento inverso de una trenza es la trenza que deshace lo que hizo la primera.
Observemos estos tres elementos:
Se demuestra que cualquier trenza de B4 puede expresarse como composición de los elementos anteriores y sus inversos. Es decir, estas 3 trenzas generan el grupo B4.
En cuanto a sus relaciones, es claro que:
mientras estas relaciones no son tan obvias:
Los anteriores generadores junto con estas relaciones forman una presentación de B4.
Generalizando este ejemplo al caso de n hebras, podemos definir de modo abstracto el grupo Bn por medio de esta presentación:
Recordemos que el grupo simétrico Sn tiene una presentación muy parecida: en ella aparecen las relaciones de Artin junto con las relaciones
En el caso del grupo simétrico, las σi pueden visualizarse como trasposiciones de dos elementos contiguos.