Hipótesis del continuo

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo (también conocida como primer problema de Hilbert) es un enunciado relativo a la cardinalidad del conjunto de los números reales, formulado como una hipótesis por Georg Cantor en 1878. Su enunciado afirma que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el del conjunto de los números naturales y el del conjunto de los reales. El nombre continuo hace referencia al conjunto de los reales.

La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemas de Hilbert propuestos en 1900. Las contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es de hecho independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de axiomas estándar en teoría de conjuntos.

En teoría de conjuntos, el concepto de número cardinal se introduce para clasificar y estudiar los distintos tipos de infinitos. El cardinal del conjunto de los números naturales N se denota por ℵ₀ (Aleph-Cero). Los conjuntos de los números enteros Z y de los números racionales Q tienen el mismo cardinal, y se dicen numerables. El conjunto de los números reales R tienen un cardinal más grande denotado por c (por continuo), cuyo valor preciso es 2^ℵ₀ cuando se expresa en la aritmética de cardinales infinitos.

Esta expresión puede entenderse al escribir un número real, puesto que en general es necesario incluir en su parte fraccionaria una sucesión infinita de cifras:

La cantidad de números reales que pueden escribirse es igual al número de combinaciones posibles. Por ejemplo, un número de 3 cifras tiene 10³ = 1000 valores posibles. En el caso de un número real arbitrario el número de cifras es infinito o, de otro modo, el número de cifras es ℵ₀, por lo que existen 10^ℵ₀ valores posibles. Puesto que la base de esta expresión es finita mientras que su exponente es infinito, el valor concreto de la base no afecta al valor final de la expresión, y puede escribirse también como 2^ℵ₀. Sin embargo la notación de 2^ℵ₀ deriva de que el número de subconjuntos que se pueden hacer con n elementos es 2ⁿ (ver binomio de Newton). Y es que R es isomorfo a las partes de N, lo cual puede probarse de forma elegante y breve viendo que todo R es isomorfo a (0,1); y a su vez, si escribimos los elementos de (0,1) en base binaria y de cada elemento señalamos las posiciones donde hay 1, nos queda claramente un elemento de las partes de N, y para cada conjunto de N encontramos un número en (0,1). Por lo tanto R no puede ser numerable.

Un subconjunto de R tiene necesariamente un cardinal o bien menor que 2^ℵ₀ (por ejemplo, los números naturales N, con cardinal ℵ₀), o bien igual a 2^ℵ₀ (como por ejemplo el intervalo [0, 1] de los números entre 0 y 1). La hipótesis del continuo afirma precisamente que no es posible encontrar un subconjunto de R con cardinal comprendido entre ℵ₀ y 2^ℵ₀.

La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos con cardinalidades intermedias entre los naturales y los reales:

Hipótesis del continuo

No existe ningún conjunto A tal que su cardinal |A| cumpla:

Si se supone el axioma de elección, la estructura de los cardinales infinitos es más clara: todos los cardinales infinitos son álefs y están bien ordenados, por lo que existe solo un cardinal inmediatamente superior a ℵ₀, denotado por ℵ₁. La hipótesis es equivalente entonces a:

Hipótesis del continuo (con AE)

El cardinal del conjunto de los números reales es el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales:

Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuo era cierto e intentó probarlo infructuosamente. El problema llegó a ser tan célebre que David Hilbert lo incluyó como el primero de su lista de los 23 problemas matemáticos del siglo. Sin embargo, la hipótesis del continuo es independiente o indecidible: partiendo de los axiomas de la teoría de conjuntos no puede probarse ni refutarse. La demostración de su consistencia (es decir, que no puede refutarse) fue dada por Kurt Gödel en 1940, y se basa en la clase de los conjuntos constructibles L. En 1963, Paul Cohen demostró la independencia (que no puede probarse), mediante el método de Forcing.

El conjunto de los números reales es equipotente al conjunto potencia de los números naturales, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos posibles de números naturales. Por lo tanto, otra formulación de la hipótesis del continuo es: no existen cardinales comprendidos entre el del conjunto de los naturales y el de su conjunto potencia (los reales). La hipótesis del continuo generalizada es la versión general de este enunciado sin particularizar al caso de los números naturales:

Hipótesis del continuo generalizada

Para cualquier conjunto infinito A, no existe un conjunto B que cumpla:

Al igual que en el caso de los números naturales, el cardinal 2^|A| es el cardinal de P(A), el conjunto potencia de A. La hipótesis del continuo generalizada también tiene un enunciado más simple si se asume el axioma de elección, ya que entonces cada cardinal infinito es un álef, y para cada álef existe un álef inmediatamente mayor:

Hipótesis del continuo generalizada (con AE)

El cardinal del conjunto potencia de cualquier conjunto infinito es igual al cardinal siguiente al de dicho conjunto:

La hipótesis del continuo generalizada también es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos. Además de eso, es tan potente como para implicar el axioma de elección:

La hipótesis del continuo generalizada implica el axioma de elección.