Álef (cardinales)

En teoría de conjuntos, álef (${displaystyle aleph }$, primera letra del alfabeto hebreo) es un signo empleado para referirse a ciertos números transfinitos que de hecho resultan ser números ordinales iniciales y por tanto números cardinales.

En análisis matemático aparecen frecuentemente álef 0 y álef 1, aunque pueden definirse números transfinitos arbitrariamente grandes, más allá de estos dos. El cardinal álef 0 representa la cantidad de elementos de un conjunto infinito como el de los números naturales, y de hecho este cardinal es el número transfinito más pequeño. Georg Cantor, que inauguró la teoría de conjuntos, demostró que existían diferentes tipos de infinitos inconmensurables entre sí, y por tanto, no todos los conjuntos infinitos eran equipotentes. Cantor demostró que el conjunto de los números reales tenía "más elementos" que los números enteros (si bien ninguno de los dos conjuntos es finito, ambos diferían en su grado de "infinidad"). El número de elementos de la recta real se representó como ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ o ${displaystyle (aleph _{1})}$.

Puede probarse rigurosamente que dada la clase formada por todos los números ordinales, existe un único isomorfismo (de orden) entre esta clase y la clase de los cardinales transfinitos. Este isomorfismo, denotado como ${displaystyle aleph }$, se emplea en teoría de conjuntos para construir cardinales transfinitos arbitrariamente grandes. Dicho isomorfismo es un epimorfismo (isomorfismo suprayectivo) y, por tanto, matemáticamente todos los cardinales transfinitos resultan ser un cardinal de tipo álef.

El más pequeño de todos los números transfinitos (cardinales), y el más simple de entender conceptualmente es ${displaystyle aleph _{0}}$ (se lee como álef sub cero o álef cero). Este cardinal es el número de elementos del conjunto de los números naturales. En análisis matemático puede definirse de manera sencilla e intuitiva la clase de conjuntos numerables (conjuntos cuyo cardinal es ${displaystyle aleph _{0}}$). Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales es un conjunto numerable. En términos prácticos, esto significa que los elementos de un conjunto numerable pueden "etiquetarse" como 1, 2, 3 ... de tal manera que a cada elemento de dicho conjunto le corresponda un número natural (y nada más que un número natural).

Más formalmente, dentro de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma del infinito postula la existencia de un conjunto infinito que puede equipararse fácilmente con los números naturales cuyo cardinal resulta ser ${displaystyle aleph _{0}}$.

En matemáticas, se define ${displaystyle aleph _{1}}$ como el menor cardinal mayor que ${displaystyle aleph _{0}}$, es decir, el menor cardinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales. Es decir, ${displaystyle aleph _{1}}$ es el sucesor de ${displaystyle aleph _{0}}$, lo cual se escribe ${displaystyle aleph _{1}=aleph _{0}^{+}}$.

En análisis matemático, se interpreta usualmente al cardinal ${displaystyle aleph _{1}}$ como la cantidad de números reales, asumiendo como cierta la hipótesis del continuo. Para justificar esto se parte del teorema de Cantor. Este teorema afirma que el cardinal de ${displaystyle {mathcal {P}}(mathbb {N} )}$ es mayor que ${displaystyle aleph _{0}}$, donde ${displaystyle {mbox{card}}({mathcal {P}}(mathbb {N} ))={mbox{card}}(mathbb {R} )}$ es el cardinal del conjunto potencia de los números naturales, que es exactamente el mismo que el cardinal de los números reales. Así pues,

${displaystyle aleph _{0}<{mbox{card}}(mathbb {R} ),}$

lo que, considerando que ${displaystyle {mbox{card}}(mathbb {R} )=2^{aleph _{0}}}$, puede escribirse también así:

${displaystyle aleph _{0}<2^{aleph _{0}}}$

En la teoría ZFC, el axioma de elección permite probar que

${displaystyle aleph _{1}leq 2^{aleph _{0}},}$

mientras que la hipótesis del continuo que afirma que

${displaystyle aleph _{1}=2^{aleph _{0}}}$,

es decir, que el cardinal de los números reales es exactamente ${displaystyle aleph _{1}}$. Sin embargo, los trabajos de Kurt Gödel (1938) y Paul Cohen (1963) demostraron que de hecho la hipótesis del continuo es indecidible dentro de la axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF) y por tanto la hipótesis del continuo no puede ser demostrada a partir de ZF (ni desconfirmada dentro de la teoría de conjuntos ordinaria dada por los axiomas ZF).

El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:

${displaystyle {mbox{card}}(A)<{mbox{card}}({mathcal {P}}(A))}$

Esto abre la posibilidad de que existan cardinales transfinitos mayores que ${displaystyle aleph _{1}}$. La hipótesis del continuo generalizada de hecho permite ordenar los cardinales transfinitos de manera sencilla, ya que en esencia afirma que:

${displaystyle forall ngeq 0:({mbox{card}}(A)=aleph _{n} ightarrow {mbox{card}}({mathcal {P}}(A))=aleph _{n+1})}$

El cardinal álef 2 ${displaystyle (aleph _{2})}$ designa, asumiendo como válida la hipótesis del continuo generalizada, el cardinal transfinito del conjunto potencia de los números reales, y por tanto podría adoptarse como definición también ${displaystyle aleph _{2}=2^{aleph _{1}}}$, por tanto, la cantidad de posibles subconjuntos de números reales sería ${displaystyle aleph _{2}}$. Igualmente aceptando la hipótesis del continuo generalizada, puede demostrarse que ${displaystyle aleph _{2}}$ también es el cardinal del conjunto de todas las funciones reales ya que:

${displaystyle {aleph _{1}}^{aleph _{1}}=2^{aleph _{1}}=aleph _{2}}$

Mientras que las funciones continuas tienen cardinal ${displaystyle aleph _{1}}$, ya que

${displaystyle {aleph _{1}}^{aleph _{0}}=2^{aleph _{0}}=aleph _{1}<aleph _{2}}$.

Esto último se debe a que una función continua queda determinada si se especifica su valor sobre los números racionales, que son numerables y por tanto tienen ${displaystyle aleph _{0}}$ como cardinal.

En matemática, se define ${displaystyle aleph _{omega }}$ como el cardinal singular (cardinal no regular) más pequeño de todos. A diferencia de ${displaystyle aleph _{omega }}$, los primeros cardinales transfinitos como ${displaystyle aleph _{0},aleph _{1},aleph _{2},dots }$ son todos ellos cardinales regulares. Otra propiedad notoria de ${displaystyle aleph _{omega }}$ es que es un cardinal que no es sucesor ningún otro (a diferencia de lo que pasa con ${displaystyle aleph _{n}, nin N,ngeq 1}$), ya que su índice ω es un ordinal límite. El hecho de que ${displaystyle aleph _{omega }}$ sea el cardinal singular más pequeño posible significa que es el cardinal más pequeño tal que su cofinalidad es menor que el propio cardinal, es decir:

${displaystyle mathrm {cf} (aleph _{omega })<aleph _{omega }}$

Dado que el ordinal ω coincide con el cardinal ${displaystyle aleph _{0}}$ (los dos signos representan el mismo conjunto), técnicamente se podría escribir el cardinal ${displaystyle aleph _{omega }}$ como una aplicación reiterada de la función álef, es decir:

${displaystyle aleph _{omega }=aleph _{aleph _{0}}}$

Aunque esa manera de escribirlo no es tan común.

En teoría de conjuntos, la función álef es el único ${displaystyle scriptstyle in }$-isomorfismo entre la clase de los ordinales ${displaystyle mathrm {On} }$ y la clase de los cardinales infinitos ${displaystyle mathrm {ICn} }$ es decir:

${displaystyle aleph :mathrm {On} o mathrm {ICn} subset mathrm {On} }$

Usualmente esta función se designa mediante ${displaystyle aleph }$ aunque es común escribir su valor sobre un ordinal α como ${displaystyle aleph _{alpha }}$ más que como ${displaystyle aleph (alpha )}$. Puede demostrarse que esta es una función normal, es decir, es una función monótona creciente y además continua (en el sentido de los ordinales).

---