Hipercubo

En geometría, un "hipercubo" es un elemento n-dimensional análogo a un cuadrado (n = 2) o a un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta y convexa, cuyo 1-esqueleto consiste en grupos de segmentos rectos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unidad en n dimensiones es igual a ${displaystyle {sqrt {n}}}$.

Un hipercubo n-dimensional se conoce más comúnmente como n-cubo, o también como un cubo n-dimensional. El término politopo de medida (originalmente acuñado por Elte, 1912)^[1]​ es usado especialmente en el trabajo de H. S. M. Coxeter, que también etiqueta los hipercubos como γn politopos.^[2]​

El hipercubo es un caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo).

Un "hipercubo unitario" es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud unidad. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los puntos 2ⁿ en R'ⁿ con cada coordenada igual a 0 o a 1 se llama hipercubo unidad.

Los hipercubos se pueden caracterizar en función de la dimensión en la que se definen:

Esto se puede generalizar a cualquier cantidad de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo d dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos rectos de longitud unidad perpendiculares entre sí, y por lo tanto, es un ejemplo de zonotopo.

El 1-esqueleto de un hipercubo es su grafo.

Un hipercubo unitario de dimensiones n es la envolvente convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de signos de las coordenadas cartesianas ${displaystyle left(pm {frac {1}{2}},pm {frac {1}{2}},cdots ,pm {frac {1}{2}} ight)}$. Tiene una longitud de arista de 1 y un volumen n dimensional de 1.

Un hipercubo n dimensional también se considera a menudo como la envolvente convexa de todas las permutaciones de signos de las coordenadas ${displaystyle (pm 1,pm 1,cdots ,pm 1)}$. Esta fórmula a menudo se elige debido a la facilidad de escribir las coordenadas. Su longitud de arista es 2 y su volumen n dimensional es 2ⁿ.

Cada n-cubo con n> 0 está compuesto por un conjunto de elementos formado por n-cubos de una dimensión inferior, situados en la superficie (n-1) dimensional del hipercubo original. Un lado o borde es cualquier elemento de dimensión (n-1) del hipercubo original. Un hipercubo de dimensión n tiene 2n bordes (un segmento unidimensional tiene 2 puntos finales; un cuadrado bidimensional tiene 4 lados o bordes; un cubo tridimensional tiene 6 caras bidimensionales; un teseracto de cuatro dimensiones tiene 8 celdas cúbicas). El número de vértices (puntos) de un hipercubo es ${displaystyle 2^{n}}$ (un cubo, por ejemplo, tiene ${displaystyle 2^{3}}$ vértices).

El número de hipercubos m dimensionales (de aquí en adelante los hipercubos se van a denominar m-cubos) en el límite de un n-cubo es^[3]​

Por ejemplo, el límite de un 4-cubo (n=4) contiene 8 cubos (o 3-cubos), 24 cuadrados (o 2-cubos), 32 segmentos (o 1-cubos) y 16 vértices (o 0-cubos).

Esta identidad puede ser probada mediante argumentos combinatorios; cada uno de los ${displaystyle 2^{n}}$ vértices define otro vértice en un contorno m-dimensional. Existen ${displaystyle {n choose m}}$ formas de elegir qué líneas ("lados") definen el subespacio en el que se encuentra el límite. Pero cada lado se cuenta ${displaystyle 2^{m}}$ veces, en función del número de vértices, por lo que es necesario dividir por este número.

Esta identidad también se puede usar para generar la fórmula para el área de superficie del n-cubo. El área de superficie de un hipercubo es: ${displaystyle 2ns^{n-1}}$.

Estos números también pueden ser generados por la relación de recurrencia lineal

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega una línea adicional (borde) por vértice, y también agrega el segundo cuadrado final, para formar un cubo, dando ${displaystyle E_{1,3}!}$ = 12 lados en total.

Se puede representar un n-cubo en un plano mediante una proyección ortogonal oblicua, generando una serie de polígonos 2n-gonales. En la siguiente tabla se muestran los casos comprendidos entre el segmento recto y el cubo de dimensión 15.

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se pueden construir para cualquier número de dimensiones.

La familia del hipercubo (orlado) es una de las tres familias de politopos regulares, etiquetada por Harold Scott MacDonald Coxeter como γ_n. Las otras dos son la familia dual del hipercubo, los politopos de cruce, etiquetados como β_n, y los símplices, etiquetados como α_n. Una cuarta familia, formada por las teselaciones infinitas de hipercubos, la calificó como δ_n.

Otra familia relacionada de y politopos uniformes y semiregulares son los demihipercubos, que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternativos eliminados y facetas con forma de símplex agregadas en los huecos, etiquetados como hγ_n.

Los n-cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos de cruce) para formar politopos compuestos:

La gráfica de los n-bordes del hipercubo es isomorfa con el diagrama de Hasse de la retícula de facetas (n-1)-símplex. Esto se puede ver orientando el n hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al (n-1)-simplex en sí mismo y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna únicamente a una de las facetas (n-1)-símplex (n-2 caras), y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a uno de los símplex n-3 caras, y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del símplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un (n-1)-símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a los politopos generales son más costosos computacionalmente.

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo con el nombre de "hipercubos generalizados", γ p
n = _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂, o ... Existen soluciones reales con p=2, es decir γ 2
n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .., 3}. Para p>2, existen en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$. Las facetas están generalizadas (n-1)-cubos y las figuras de vértices son símplices regulares.

El perímetro del polígono regular resultante de estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie. Los cuadrados generalizados (n=2) se muestran con bordes delineados como rojo y azul alternando el color de los p-bordes, mientras que los n-cubos más altos se dibujan con los p-bordes delineados en negro.

El número de elementos de m-caras en un p-generalizado n-cubo son: ${displaystyle p^{n-m}{n choose m}}$. Esta relación implica que siempre aparezcan p ⁿ vértices y pn facetas.^[5]​