Polígono regular

En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.^[1]​

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

O de otro modo

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

Sabiendo que:

Además ${displaystyle delta ={frac {pi }{n}} }$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

Sustituyendo el lado:

Finalmente:

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

donde el ángulo central es:

sabiendo que el área de un polígono es:

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

ordenando tenemos:

sabiendo que:

resulta:

o lo que es lo mismo:

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

Sea ${displaystyle varphi }$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

Despejando la apotema tenemos:

Sustituimos la apotema por su valor:

Se puede ver en el dibujo que ${displaystyle an(delta )={frac {1}{ an(varphi )}}}$ y la fórmula puede escribirse también como ${displaystyle A_{p}={frac {ncdot L^{2}}{4cdot an left({frac {180^{o}}{n}} ight)}}}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

La apotema, ${displaystyle a}$, de un polígono regular de ${displaystyle n}$ lados de longitud ${displaystyle L}$ viene dada por

O bien, en función del circunradio, ${displaystyle R}$,

La sagita, ${displaystyle s}$, de un polígono regular de ${displaystyle n}$ lados de longitud ${displaystyle L}$ viene dada por

O bien, en función del circunradio,

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

Según el razonamiento tendremos que:

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

que resulta:

de donde deducimos que:

Sabiendo el valor del ángulo central:

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

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