Identidad de Euler

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler) es la igualdad:

donde:

Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a primera vista.

La identidad se deduce a partir de un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x, con los argumentos de las funciones trigonométricas sen y cos expresados en radianes. En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando ${displaystyle i^{2}=-1}$):

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

El logaritmo natural de un número complejo ${displaystyle z=a+bi}$, donde ${displaystyle a,bin mathbb {R} }$, se define como:

Donde ${displaystyle arg(z)=arg(a+bi)}$ es:

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo ${displaystyle (-pi ,pi ]}$ (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

Por ejemplo :

Y también se cumple:

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener ${displaystyle ipi =ln(-1)}$ a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.

Se sabe que ${displaystyle e^{ipi }=-1}$, pero también es cierto que ${displaystyle e^{-ipi }=-1}$ o ${displaystyle e^{3ipi }=-1}$. De hecho en general:

El error que se puede cometer aquí, es que si ${displaystyle e^{a}=e^{b}}$, entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien ${displaystyle e^{ipi }=e^{-ipi }=-1}$, no es cierto que ${displaystyle ipi =-ipi }$. De esta forma, se puede ver que:

Antes se mencionó que si se puede obtener ${displaystyle ipi =ln(-1)}$ con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si ${displaystyle e^{a}=b}$ entonces a = ln(b).

Otro error es lo siguiente:

El error aquí ocurre en ${displaystyle ln(1/-1)=ln(1)-ln(-1)}$. Esto último no es correcto y el motivo es que

Porque ${displaystyle ln(a^{b})=bln(a)}$ solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado ${displaystyle ln((-e)^{2})=ln((e)^{2})=2}$, pero ${displaystyle 2ln(-e)}$ no es real, puesto que ln(-e) no es un número real.

El número áureo (también llamado número de oro​) es un número irracional,​ representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de sus propiedades es:

${displaystyle varphi -1=1/varphi }$

Por tanto: ${displaystyle varphi -1/varphi =1}$

Reemplazando '1' en la identidad de Euler, ${displaystyle e^{ipi }+1=0}$, se tiene:

${displaystyle e^{ipi }+({displaystyle varphi -1/varphi })=0}$

Por tanto:

${displaystyle e^{ipi }+{displaystyle varphi -1/varphi }=0}$

${displaystyle {frac {varphi cdot e^{ipi }+varphi ^{2}-1}{varphi }}=0}$

${displaystyle varphi cdot e^{ipi }+varphi ^{2}-1=0}$

Ordenando los términos de la ecuación queda:

${displaystyle varphi ^{2}+varphi cdot e^{ipi }-1=0}$

De esta manera se relacionan seis números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.

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