Identidades de Green

En matemáticas, las identidades de Green son un conjunto de igualdades en cálculo vectorial. Nombradas así en honor del matemático George Green, el mismo que descubrió el teorema de Green.

Esta identidad se deriva del teorema de la divergencia aplicado a un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} =psi abla varphi }$.

Si ${displaystyle varphi }$ es una función continuamente diferenciable de clase C² y ${displaystyle psi }$ es otra función continuamente diferenciable, pero de clase C¹ en una región U, entonces:

donde ${displaystyle Delta = abla ^{2}}$ es el operador Laplaciano.

Si ${displaystyle varphi }$ y ${displaystyle psi }$ son funciones continuamente diferenciables de clase C² las dos en U, entonces:

La tercera identidad de Green se obtiene a partir de la segunda particularizando la función ${displaystyle phi (y)}$ a:

En este caso, el laplaciano de ${displaystyle phi (y)}$ es:

${displaystyle Delta varphi (y)=-4pi delta left(mathbf {x} -y ight)}$

La tercera identidad de Green dice entonces que, si ${displaystyle psi }$ es una función continuamente diferenciable de clase C² en U, entonces:

Donde: