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Cálculo vectorial



El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside[1]​(1850-1925).

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición, un vector donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

Si y Escribimos:

donde es la norma euclídea de . Expresándolo en función de las componentes de

o, de forma equivalente,

Decimos que una función es continua en

Sean y dos funciones tales que la función compuesta está definida en , siendo

Sea . Sea un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo e un vector arbitrario de . Definimos la derivada de f en respecto a como

Decimos que f es diferenciable en

es diferenciable en con diferencial

Sea un campo escalar y . Definimos la función compuesta como , entonces

Sea un campo vectorial. Sea e un vector cualquiera. Definimos la derivada

Expresando en función de sus componentes, tenemos

Decimos que es diferenciable , aplicación lineal que verifica:

La matriz de es su matriz jacobiana.

Si un campo vectorial es diferenciable en es continuo en .

Sea un campo vectorial definido y diferenciable en . Su diferencial resulta ser

ambas derivadas parciales existen y son continuas en .

Un campo escalar tiene un máximo en existe una n-bola

Un campo escalar tiene un mínimo en existe una n-bola

Un campo escalar tiene un punto de ensilladura

Para saber si es uno de los casos anteriores:

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que es continua




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