K-teoría

La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complejos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada ${displaystyle ngeq 0}$ dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.

La teoría K real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si ${displaystyle f:Xlongrightarrow Y}$ es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

Se puede comprobar que dos aplicaciones ${displaystyle fsimeq g:Xlongrightarrow Y}$ homotópicas inducen el mismo morfismo ${displaystyle f^{*}=g^{*}}$. Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

La teoría-K compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto ${displaystyle xin X}$ se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

En ${displaystyle KO(mathbb {R} mathbb {P} ^{n})}$ el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

con ${displaystyle gamma _{1}}$ denota el fibrado tautológico y ${displaystyle [varepsilon ]}$ denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que ${displaystyle Hom(gamma _{1},gamma _{1})}$ tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

Análogamente en ${displaystyle K(mathbb {C} mathbb {P} ^{n})}$ se tiene

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de ${displaystyle {widetilde {K}}(S^{2})cong mathbb {Z} }$.

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo, ${displaystyle Tmathbb {R} mathbb {P} ^{n}}$ y ${displaystyle oplus ^{n+1}gamma _{1}^{*}}$ son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la teoría-K es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado ${displaystyle Ein Vect(X,mathbb {C} ,n)}$ existe un fibrado E' tal que

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango. La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera ${displaystyle S^{k}}$. Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior, ${displaystyle S^{k}=Sigma S^{k-1}}$, y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas ${displaystyle Omega }$ obtenemos las siguientes biyecciones

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:

Teorema: ${displaystyle {widetilde {K}}(S^{k})cong pi _{k-1}(cup _{n}U(n))}$.

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, ${displaystyle {widetilde {K}}(S^{2})cong pi _{1}(cup _{n}U(n))cong mathbb {Z} .}$

Para la teoría-K no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la teoría-K de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.

Teorema: ${displaystyle K(S^{2})}$ es un anillo generado por el fibrado de línea canónico ${displaystyle gamma _{1}}$ sobre ${displaystyle S^{2}cong mathbb {C} mathbb {P} ^{1}}$ con la relación ${displaystyle ([gamma _{1}]-[varepsilon ])^{2}=0}$.

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que ${displaystyle TS^{2}cong gamma _{1}^{2}}$.