Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Un monoide ${displaystyle (A,circledcirc )}$ es una estructura algebraica en la que ${displaystyle A,}$ es un conjunto y ${displaystyle circledcirc }$ es una operación binaria interna en ${displaystyle A,}$:

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):^[1]​

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna ${displaystyle circledcirc }$ si:

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:

Cadenas del alfabeto^[2]​ A, que representamos C(A) pueden ser:

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

Definimos la operación ${displaystyle |}$ de concatenación de cadenas del alfabeto A como:

que podemos representar, de las siguientes formas:

podemos ver que ${displaystyle (C(A),|)}$ tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:

2.- Es asociativa:

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía ${displaystyle langle angle }$ de A, de modo que:

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Partiendo del conjunto de los números naturales:

y la operación multiplicación, podemos ver que: ${displaystyle (mathbb {N} , imes )}$ es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

2.- Es asociativa:

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: ${displaystyle (mathbb {N} , imes )}$, tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

Una categoría monoidal^{[cita requerida]}, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos: