Lenguaje matemático

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

Sean ${displaystyle x}$ un elemento y ${displaystyle A,B}$ conjuntos

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo ${displaystyle x ot in A}$ es "x no pertenece a A";

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

Cuantificador

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

" ${displaystyle f:[a,b]subseteq mathbb {R} longrightarrow mathbb {R} ,a<bLongrightarrow exists r,sin [a,b]mid forall xin [a,b]:f(r)leq f(x)leq f(s)}$ ".

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ dos proposiciones

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe ${displaystyle p o q}$ o ${displaystyle pRightarrow q}$ como abreviatura de ${displaystyle eg plor q}$. La declaración "${displaystyle p}$ implica ${displaystyle q}$" es falsa siempre que ${displaystyle p}$ sea verdad pero no necesariamente ${displaystyle q}$.

Si ${displaystyle pRightarrow q}$ y ${displaystyle qRightarrow p}$, se escribe ${displaystyle pLeftrightarrow q}$, que se lee "${displaystyle p}$ implica y es implicada por ${displaystyle q}$", o bien "${displaystyle p}$ si y solo si ${displaystyle q}$".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Si decimos: aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano, entonces, podríamos entender que aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma ${displaystyle forall x , pquad oquad exists ymid q}$ que se leen "para todo ${displaystyle x}$, es verdad que ${displaystyle p}$" y "existe por lo menos un ${displaystyle y}$ tal que ${displaystyle q}$ es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que ${displaystyle eg forall x , p}$ dice lo mismo que dice ${displaystyle exists x| eg p}$. En palabras, decir "no es para todo ${displaystyle x}$ que ${displaystyle p}$ es verdad" es igual que decir "existe ${displaystyle x}$ tal que ${displaystyle p}$ es falsa".

Para decir que el límite de la función ${displaystyle f}$ es ${displaystyle L}$ cuando ${displaystyle x}$ tiende a ${displaystyle a}$, se escribe:

Igualmente, para decir que la sucesión ${displaystyle {a_{n}}}$ va a ${displaystyle a}$ cuando ${displaystyle n}$ tiende a la infinidad, se escribe:

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

Las derivadas serían:

Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo:

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:

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