Ley de la caída de los cuerpos

En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es frecuente también referirse coloquialmente a estas como caídas libres, aunque los efectos de la densidad del medio no sean por lo general despreciables.

El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical (llama este movimiento como tiro vertical); o a cualquier objeto (satélites naturales o artificiales, planetas, etc.) en órbita alrededor de un cuerpo celeste. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.

Ejemplos de caída libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una persona a través de la atmósfera sin sustentación alar ni de paracaídas durante un cierto trayecto.^[1]​^[2]​

Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en caída libre puede considerarse inercial o no inercial en función del marco teórico que se esté usando.

En la física clásica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posición espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la física relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espacio-tiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodésica. Por tanto, desde el punto de vista de la física clásica, un sistema de referencia en caída libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la física relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues, aunque está acelerado en el espacio, no está acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definición de los conceptos geométricos y cinemáticos, que para cada marco teórico son completamente diferentes.

En la caída libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en el vacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración, ${displaystyle g,}$, que es la aceleración de la gravedad

Por lo tanto, partiendo de un cuerpo (móvil) sometido exclusivamente a la aceleración de la gravedad que es constante en todo el recorrido, tenemos esta siguiente operación.

considerando vertical el eje y, con el sentido positivo hacia arriba, la aceleración de la gravedad es vertical hacia abajo, por lo que la señalamos con signo negativo:

la velocidad que alcanza el móvil tiempo ${displaystyle t_{1}}$ es igual a la velocidad inicial ${displaystyle v_{0}}$ que el cuerpo tenía para ${displaystyle t_{0}}$ más la aceleración de la gravedad ${displaystyle g,}$ por el incremento de tiempo, si ${displaystyle t_{0}=0}$ entonces:

si el cuerpo se deja caer desde el reposo ${displaystyle v_{0}=0}$, entonces:

para determinar la posición, cuota y, tenemos que:

si tomamos ${displaystyle t_{0}=0}$:

En esta expresión se tiene en cuenta que se mide sobre el eje y, tomando el sentido positivo en sentido vertical hacia arriba, tanto la posición como la velocidad y se considera como negativo el sentido vertical hacia abajo en cuanto a la posición como en cuanto a la velocidad o aceleración.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza ${displaystyle mathbf {F} }$ que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa ${displaystyle m,}$ por la aceleración que adquiere. En caída libre solo intervienen el peso ${displaystyle mathbf {P} }$ (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico ${displaystyle mathbf {f} (v)}$ en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:

${displaystyle mathbf {F} =mathbf {P} +mathbf {f} =-mg{mathbf {j} }-f{frac {mathbf {v} }{v}}=m{frac {dmathbf {v} }{dt}}}$

La aceleración de la gravedad ${displaystyle g,}$ lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

(1)${displaystyle -mg+f=ma_{y},}$

donde:

${displaystyle {egin{matrix}v_{y}(t)=v_{0}-gt\y(t)=h_{0}+v_{0}t-{frac {1}{2}}gt^{2}end{matrix}}}$

donde v₀ es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v₀ = 0 y h₀ es la altura inicial de caída.

(2)${displaystyle -mg-k_{w}v_{y}=ma_{y},}$

En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

${displaystyle {egin{cases}v_{y}=v_{0}e^{-k_{w}t/m}+{cfrac {mg}{k_{w}}}(e^{-k_{w}t/m}-1)\y=h_{0}-{cfrac {mgt}{k_{w}}}-mleft({cfrac {mg+k_{w}v_{0}}{k_{w}^{2}}} ight)(e^{-k_{w}t/m}-1)end{cases}}}$

Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

${displaystyle v_{infty }=lim _{t o infty }v_{y}(t)=-{frac {mg}{k_{w}}}}$

(3)${displaystyle ma_{y}=m{frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg-epsilon {frac {C_{d}}{2}} ho A_{t}v_{y}^{2}}$

Donde:

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

${displaystyle v_{infty }={sqrt {frac {2mg}{C_{d} ho A_{t}}}}}$

La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

${displaystyle {egin{cases}v_{y}(t)={sqrt {cfrac {g}{alpha }}} an left(-t{sqrt {{alpha }{g}}}+arctan left(v_{0}{sqrt {cfrac {alpha }{g}}} ight) ight)&epsilon >0\v_{y}(t)={sqrt {cfrac {g}{alpha }}} anh left(-t{sqrt {{alpha }{g}}}-{mbox{arctanh}}left(v_{0}{sqrt {cfrac {alpha }{g}}} ight) ight)&epsilon leq 0end{cases}}}$

Donde: ${displaystyle alpha =C_{d} ho A_{t}/2m;}$.

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura ${displaystyle h_{0}}$ y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial ${displaystyle v_{0}}$ se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Caída libre (${displaystyle v_{y}(0)=0}$ y ${displaystyle y(0)=h_{0}}$):

${displaystyle y(t)=h_{0}-{cfrac {1}{alpha }}ln left[cosh left(-t{sqrt {{alpha }{g}}} ight) ight]}$

El tiempo transcurrido en la caída desde la altura ${displaystyle y=h_{0}}$ hasta la altura ${displaystyle y=0}$ puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:

${displaystyle t(0)-t(h_{0})={cfrac {1}{sqrt {{alpha }{g}}}}{mbox{arccosh}}left(e^{{alpha }h_{0}} ight)}$

Lanzamiento vertical (${displaystyle v_{0}=v_{0}}$ y ${displaystyle y(0)=0}$):

${displaystyle y(t)={cfrac {1}{alpha }}ln left[{cfrac {cos left[-t{sqrt {{alpha }{g}}}+arctan left(v_{0}{sqrt {cfrac {alpha }{g}}} ight) ight]}{cos left[{mbox{arctan}}left(v_{0}{sqrt {cfrac {alpha }{g}}} ight) ight]}} ight]}$

Si la altura ${displaystyle h_{0}}$ es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura ${displaystyle h_{0}}$ puede calcularse como:

${displaystyle t(h_{0})-t(0)={cfrac {1}{sqrt {{alpha }g}}}{mbox{arctan}}left(v_{0}{sqrt {cfrac {alpha }{g}}} ight)={cfrac {1}{sqrt {{alpha }g}}}{mbox{arccos}}left(e^{-{alpha }h_{0}} ight)}$

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura ${displaystyle h_{0}}$ hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la altura máxima de ${displaystyle h_{0}}$ si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

${displaystyle {mbox{arccosh}}left(e^{{alpha }h_{0}} ight)>{mbox{arccos}}left(e^{-{alpha }h_{0}} ight)}$

${displaystyle forall alpha ,h_{0}>0}$

sabiendo que ${displaystyle {mbox{arccosh}}left(e^{{alpha }h_{0}} ight)in left[1,+infty ight)}$ y que ${displaystyle {mbox{arccos}}left(e^{-{alpha }h_{0}} ight)in left[0,{cfrac {pi }{2}} ight]}$

Intuitivamente la diferencia de tiempos es clara, en el tiro hacia arriba la velocidad inicial es mayor por lo que la fuerza de rozamiento promedio a lo largo de la trayectoria también es mayor que la que se alcanza en tiro hacia abajo.

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

(4)${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {v_{y}}{v_{x}}}qquad qquad {egin{cases}v_{y}(0)=0\v_{x}(0)=V_{x}end{cases}}qquad qquad {egin{cases}y(0)=h_{0}\x(0)=0end{cases}}}$

donde x es la coordenada horizontal (eje de abscisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas).

La expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/v_x. Pueden distinguirse los siguientes casos:

${displaystyle y(x)=h_{0}-{frac {gx^{2}}{2V_{x}^{2}}}}$

${displaystyle y(x)=h_{0}-delta left[{frac {x}{eta delta }}-ln left(1-{frac {x}{eta delta }} ight) ight]}$

donde:

Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

${displaystyle {egin{cases}{cfrac {dv_{x}}{dt}}=-C_{w}v_{x}^{2}\{cfrac {dv_{y}}{dt}}=+C_{w}v_{y}^{2}-gend{cases}}}$

La trayectoria viene dada por:

${displaystyle y(x)=h_{0}-delta ln left[cosh left({frac {e^{x/delta }-1}{eta }} ight) ight]}$

donde:

Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro β para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud δ).

La caída libre desde grandes alturas en un campo gravitatorio aproximadamente esférico, como es el caso del campo gravitatorio terrestre, requiere correcciones importantes ya que en ese caso ni la magnitud ni la dirección de la fuerza gravitatoria son constantes. Concretamente para un campo gravitatorio newtoniano con simetría esférica, cuando podemos ignorar el rozamiento con la atmósfera, la trayectoria es un arco de elipse.

Para el caso particular de caída con velocidad inicial nula sin rozamiento desde una distancia ${displaystyle r_{0}}$ del centro del cuerpo de masa ${displaystyle M}$, la trayectoria es una línea recta y la expresión de la velocidad ${displaystyle v}$ del cuerpo que cae, en función de la distancia ${displaystyle r}$ al centro de atracción gravitatoria generado por la masa ${displaystyle M}$ es:^[3]​

${displaystyle v={sqrt {2 G M left({dfrac {1}{r}}-{dfrac {1}{r_{0}}} ight)}}}$

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