Método de Cross

El Método de redistribución de momentos o método de Cross^[1]​ es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross y que permitía el cálculo de estructuras hiperestáticas mediante un método iterativo que convergía hacia la solución correcta.

El método fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera más sencilla han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

En el método de redistribución de momentos, cada articulación o nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuye" a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de desplazamiento del análisis estructural.

El método de Cross es un método iterativo, tiene la ventaja de estar planteado como una sucesión de grupos de fases de cálculo, si a partir de un cierto punto se siguen repitiendo alguna de las fases de cálculo ("transmisión" y "reparto" de momentos) la solución va convergiendo hacia la solución exacta. Esto era muy importante en las primera décadas de uso del método, cuando no existían ordenadores disponibles para el cálculo estructural. La llegada de ordenadores y la existencia de algoritmos eficientes para resolución de sistemas con un elevado número de ecuaciones, hicieron aparecer alternativas al método de Cross que al menos hasta los años 1960, fue el principal método de cálculo. En la actualidad la mayor parte del software estructural usa el método matricial de la rigidez, que es más sencillo de programar.

Hardy Cross no desarrolló una versión tridimensional de su método, por lo que en gran parte el método se empleó para estructuras planas. Aunque añadiendo la noción de rigidez torsional es generalizable a tres dimensiones. El método de Cross puede dividirse en una serie fases o etapas de cálculo (siendo las últimas de ellas reiterables, hasta obtener la precisión deseada). La etapas son:

La nueva transmisión de momentos hace que aparezcan nuevos desequilibrios en los nudos que deben repartirse de nuevo y volver a la etapa 2. Una virtud del método es que al ir repitiendo las fases 2 y 3, en cada iteración los momentos son sustancialmente menores (al ser los coeficientes de reparto y transmisión menores que la unidad) y se logra convergencia en términos prácticos después de un número relativamente bajo de iteraciones.

En disposición de aplicar el método de redistribución de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en él, esta distribución se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexión que presenta cada uno de estos miembros.

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión.

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios.

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos.

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

En los siguientes cálculos, los momentos antihorarios son positivos.

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son ${displaystyle D_{AB}=D_{DC}=1}$.

Los coeficientes de transmisión son ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ (porque la sección es constante), excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.

Números en gris son momentos balanceados; flechas ( → / ← ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia.

Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la sección.

(Posible corrección en esfuerzo de corte 5.84 en lugar de 3.84, y -4.16 en lugar de -6.16).