x
1

Métrica de De Sitter



El espacio de De Sitter (nombrado así por Willem de Sitter[1]​) es una variedad lorentziana (un espacio-tiempo) análogo a la esfera en geometría riemanniana. Posee curvatura constante y positiva y es maximalmente simétrico. En dimensión se le denota por .

En relatividad general, el espacio de De Sitter es la solución de vacío máximamente simétrica de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica positiva (repulsiva). En el caso de que el número de dimensiones sea , constituye un modelo cosmológico para un universo en expansión acelerada.

El espacio de Sitter puede visualizarse de manera sencilla como una hipersuperficie embebida en el espacio-tiempo de Minkowski de dimensión ,R 1,n. Su ecuación como "pseudoesfera" es:

La métrica del espacio-tiempo ambiente es diag. es una constante con dimensiones de longitud. Con esta definición, esta hipersuperficie coincide con la generalización a dimensión arbitraria del hiperboloide de una hoja embebido en tres dimensiones. Sin embargo, la métrica asignada al espacio de de Sitter es lorentziana, y es heredada de la métrica ambiente:

El espacio de De Sitter, tiene una topología simple: .

La geometría del universo de De Sitter viene representada por una espacio-tiempo donde la métrica puede representarse introduciendo las coordenadas auxiliares :

donde es una carta sobre la esfera de dimensión n-1, y escogemos unidades naturales c=1. Entonces se tiene para la métrica:

(1),

donde es el elemento de línea de una n-1-esfera. Las coordenadas anteriores cubren todo el hiperboloide del que se habló en la sección anterior. Las secciones espaciales obtenidas para τ = cte. son hiperesferas que resultan ser además hipersuperficies de Cauchy.

Realizando el cambio:

bien en la definición de la carta anterior, bien directamente en la forma de la métrica, se obtiene:

(1),

En estas coordenadas, es manifiesto que el espacio de De Sitter es conforme a una porción del universo estático de Einstein, un espacio-tiempo similar a De Sitter, pero sin expansión o contracción. La porción que cubre esta carta corresponde a T(-π/2,π/2), con lo que es manifiesto la existencia de horizontes. Debido a esta equivalencia conforme, la ecuación de una geodésica de tipo-luz toma la forma:

,

donde es el elemento de línea de la n-1 esfera. Partiendo por ejemplo del polo norte de esta en el instante T=0, ningún observador puede pasar del ecuador de la esfera, puesto que es necesaria una cantidad de tiempo ΔT=π/2 para llegar a éste. Esto refleja el hecho de que la expansión es tan rápida que puede separar dos observadores de todo contacto causal.

Puede construirse una carta local

que cubre la mitad del hiperboloide tal que . La métrica adopta entonces la forma

(2)

que corresponde a un universo en expansión eterna con curvatura espacial nula. Puede construirse fácilmente una carta análoga para cubrir la otra mitad del hiperboloide, que corresponde sin embargo a una fase de contracción eterna.

El universo de De Sitter es una solución de las ecuaciones de Einstein cuya curvatura escalar es constante en todo el espacio-tiempo|curvatura escalar]] es constante en todo el espacio-tiempo, con constante cosmológica repleto de un fluido perfecto cuya presión y densidad satisfacen . El tensor gravitacional de Einstein Gij viene dado por:

Dada la forma sencilla del tensor de Riemann resulta muy sencillo probar directamente la forma del contenido material anterior.

Si es la expresión de una curva usando el sistema de referencia asociado a las corodenadas de (1) y del tiempo propio entonces esa curva será geodésica si se cumple que:


De las potencialmente 55 componentes independientes del tensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas en la métrica (1), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de sola la curvatura escalar y el la métrica:

El tensor de Einstein, calculado a partir del tensor de Ricci, viene dado por:

Debido a la geometría del espacio de De Sitter, el grupo de isometría resulta ser SO(1,n) , cuya dimensión es .

Esta isometría se hereda del espacio-tiempo minkowskiano en el que se embebe el espacio de De Sitter, por lo que los generadores del grupo de isometría son los generadores del grupo de Lorentz , con i,j=0,1,2...n, que cumplen las reglas de conmutación:



Escribe un comentario o lo que quieras sobre Métrica de De Sitter (directo, no tienes que registrarte)


Comentarios
(de más nuevos a más antiguos)


Aún no hay comentarios, ¡deja el primero!