Martingala

En teoría de probabilidad, un proceso estocástico de tipo martingala (galicismo de martingale) es una secuencia de variables aleatorias en la que, en un tiempo dado, la esperanza condicional del siguiente valor de la secuencia, dado todos los valores anteriores, es igual al valor presente.

Este tipo de procesos estocásticos reciben su nombre de la estrategia de la martingala, un método de apuestas que tuvo cierta fama en el siglo XVIII. El siglo 1800 también se considera el nacimiento de la ruleta francesa, donde a menudo se usaba la estrategia de martingala.^[1]​ La estrategia de la martingala consiste en volver a apostar por el total perdido al momento de incurrir en una pérdida en un juego de azar. En la nueva apuesta, el jugador tiene la posibilidad de recobrar todas sus pérdidas, por lo que podría parecer que a largo plazo la esperanza de ganancia con esta estrategia se mantienen constantes y a favor del jugador. De hecho, estadísticamente es así: el capital medio del jugador (esto es, el dinero que el jugador tiene a su disposición para jugar) se mantiene constante. El problema reside en que, al incurrir en sucesivas pérdidas, el jugador que siga la estrategia de la martingala se ve obligado a apostar de nuevo cantidades cada vez mayores (las pérdidas acumuladas), que tienden a crecer exponencialmente. Al cabo de unos pocos ciclos de apuestas, el jugador, cuyos recursos son habitualmente muy inferiores a los de la banca, se ve arruinado al ser incapaz de apostar de nuevo por el total de sus pérdidas. Evitar jugadores que intenten seguir la estrategia de la martingala es de todos modos una de las razones por las que los casinos actuales establecen límites máximos de apuesta.

La estrategia de la martingala se popularizó en el siglo XVIII con fama de ser una estrategia ingenua y propia de mentes simples, puesto que aunque en apariencia es infalible, está sin embargo abocada a arruinar al jugador. Recibe el nombre de los habitantes de la localidad francesa de Martigues (martingales en francés), situada en las cercanías de Marsella, que por aquel entonces tenían fama de ser ingenuos y simplones.

El concepto de la martingala en la teoría de probabilidades fue introducido por Paul Pierre Lévy, y una gran parte del desarrollo original de la teoría lo realizó Joseph Leo Dobb. Parte de la motivación para ese esfuerzo era demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles.

El concepto fue inmediatamente aplicado al análisis de procesos bursátiles. Uno de los resultados más importantes de la matemática financiera es, precisamente, que un mercado perfecto sin posibilidades de arbitraje es una martingala.

Sea un espacio de probabilidad definido por ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},P)}$, donde ${displaystyle Omega }$ es el espacio de muestra (esto es, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio); ${displaystyle {mathcal {F}}}$ es la σ-álgebra asociada a ${displaystyle Omega }$, y ${displaystyle P}$ es la medida de probabilidad.

Sea ${displaystyle mathbb {F} }$ una filtración de ${displaystyle sigma }$-algebras: ${displaystyle {mathcal {F}}_{1}subset {mathcal {F}}_{2}subset ldots subset {mathcal {F}}_{T}subseteq {mathcal {F}}}$. Sea ${displaystyle {X(t)}=X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}$ una sucesión de variables aleatorias que forman un proceso estocástico.

Entonces, el proceso estocástico ${displaystyle {X(t),tgeq 0}}$ adaptado a la filtración ${displaystyle mathbb {F} }$ recibe el nombre de martingala si

donde ${displaystyle mathbb {E} }$ es la esperanza matemática, y donde ${displaystyle {mathcal {F}}_{s}}$ es cualquier sub-σ-álgebra de la filtración ${displaystyle mathbb {F} }$.

Esto es, un proceso estocástico es una martingala si su esperanza en tiempo 't', con ${displaystyle t>s}$ sujeta a la condición de que la información conocida sobre el proceso en un instante anterior 's' sea la dada por ${displaystyle {mathcal {F}}_{s}}$, sea precisamente el valor que la variable aleatoria que define el proceso tomó en dicho instante 's'. Dicho de otro modo, un proceso estocástico es una martingala cuando su esperanza en tiempo futuro es precisamente el valor que la variable tiene en tiempo presente. Esto significa que el proceso no tiene deriva estadística.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

entonces se dice que el proceso es una submartingala.

Cuando el mismo proceso estocástico cumple que

entonces se dice que el proceso es una supermartingala.

La esperanza estadística cumple la propiedad de linealidad, por lo que

La esperanza estadística de ${displaystyle mathbb {E} left[W(s)|{mathcal {F}}_{s} ight]=W(s)}$ puesto que en el tiempo 's' definido por ${displaystyle {mathcal {F}}_{s}}$ todos los valores de la variable son conocidos. Así,

Finalmente, un proceso estocástico se dice Browniano si la esperanza de cualquier incremento futuro es independiente de los valores presentes. Por tanto, si el incremento ${displaystyle W(t)-W(s)}$ es independiente de ${displaystyle {mathcal {F}}_{s}}$,

Esto es, el movimiento browniano es una martingala.

En la estrategia de la martingala, el capital de un jugador es uno de los factores limitantes, junto con la apuesta máxima establecida por la casa de apuestas. Si se tiene una mala racha, el valor de las apuestas aumenta rápidamente. Por ejemplo, después de perder cinco apuestas seguidas a una cuota de 2, la sexta apuesta será 32 veces la apuesta inicial.

Además, la martingala no es un sistema para obtener beneficios a largo plazo. La única forma sería calcular probabilidades más exactas que las de las casas de apuestas.