Esperanza matemática

En matemática, concretamente en la rama de estadística, la esperanza (denominada asimismo valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria ${displaystyle X}$, es el número ${displaystyle mathbb {E} [X]}$ o ${displaystyle { ext{E}}[X]}$ que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Es un concepto análogo a la media aritmética de un conjunto de datos.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad promedio que se «espera» como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser «esperado» en el sentido más general de la palabra (el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible).

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al tirar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta francesa tiene 37 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 37 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

que es aproximadamente -0,027027. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 2,7 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.972973 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un «juego justo».

Nota: El primer término es la «esperanza» de perder la apuesta de 1€, por eso el valor es negativo. El segundo término es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

Para una variable aleatoria discreta ${displaystyle X}$ con función de probabilidad ${displaystyle operatorname {P} [X=x_{i}]}$ con ${displaystyle i=1,2,dots ,n}$ la esperanza se define como

Para una variable aleatoria continua ${displaystyle X}$ con función de densidad ${displaystyle f_{X}(x)}$ el valor esperado se define como la integral de Riemann

En general, si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria definido en el espacio de probabilidad ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},operatorname {P} )}$ entonces el valor esperado de ${displaystyle X}$, denotado por ${displaystyle operatorname {E} [X]}$, está definido como la integral de Lebesgue

Para variables aleatorias multidimensionales, su valor esperado está definido por componente, esto es

y, para una matriz aleatoria ${displaystyle X}$ con elementos ${displaystyle X_{i,j}}$, ${displaystyle (operatorname {E} [X])_{i,j}=operatorname {E} [X_{i,j}]}$.

Las esperanzas

para ${displaystyle k=1,2,...}$ se llaman momentos de orden ${displaystyle k,!}$ o el ${displaystyle k}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${displaystyle X}$. Más importantes son los momentos centrados ${displaystyle operatorname {E} [(X-operatorname {E} [X])^{k}]}$.

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.

Si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son variables aleatorias con esperanza finita y ${displaystyle a,b,cin mathbb {R} }$ son constantes entonces

El operador esperanza ${displaystyle operatorname {E} [cdot ]}$ es un operador lineal en el sentido de que para cualesquiera variables aleatorias ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ y cualquier ${displaystyle cin mathbb {R} }$

Demostrar este resultado es sencillo, si consideramos que ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son variable aleatorias discretas entonces

Si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes entonces

La demostración de este resultado es muy sencilla, sólo hay que considerar el concepto de independencia, el resultado se demuestra sólo para el caso discreto (la demostración del caso continuo es análoga)