Las matemáticas puras se refiere al estudio de las matemáticas, in se y per se, es decir, ‘por sí mismas’ y ‘como tales’, sin referencia a las aplicaciones prácticas que pudieran derivarse o a las que pudieran aplicarse.
Con el mismo alcance, se suelen también utilizar las denominaciones de matemáticas especulativas, fundamentales o abstractas. Estas nociones se contraponen tradicionalmente a la de las matemáticas aplicadas, que se focaliza principalmente en el empleo de instrumentos matemáticos en disciplinas de diversos órdenes, que cubren tanto las ciencias naturales como la economía y otras ciencias sociales, así como su utilización en ingeniería y en todo tipo de aplicaciones tecnológicas.
Se ha destacado que existen ramas matemáticas donde prevalecen los aspectos «puros», o respecto de las que no se hayan encontrado todavía pueden ser aplicaciones prácticas, pero nada excluye que tal cosa suceda en el futuro. Al respecto, decía Nikolái Lobachevski (1792-1856):
La historia confirmó el presentimiento de Lobachevski. Así, por ejemplo, la teoría de los números, que durante siglos tuvo un carácter puramente especulativo, llegó a tal punto que Godfrey Harold Hardy se felicitaba de que existiera «al menos una ciencia que de cualquier manera que sea se encuentra por sí misma tan alejada de la actividad humana ordinaria que se conservará limpia y gentil». Pero a raíz de los trabajos de Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman la teoría de los números encontró una decisiva e insospechada aplicación en criptografía, y con la descripción del algoritmo RSA se popularizó, a través de Internet, la utilización de la criptografía asimétrica, o por clave pública.
Inversamente, cualquier rama, o incluso cualquier problema matemático, puede abordarse privilegiando un enfoque puramente matemático o formal, sin referencia alguna a la eventual aplicación que pueda hacerse o de su vínculo con «la realidad» tangible. Un ejemplo clásico al respecto es el del análisis matemático, inventado simultáneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, y desde entonces utilizado fructuosamente en la física, cuya formalización fue lograda rigurosa y abstractamente por Karl Weierstrass (1815-1897) en el siglo XIX.
No existe un consenso general entre los matemáticos respecto las fronteras que separan claramente lo «puro» y lo «aplicado»; un debate al respecto fue publicado por Hardy. Para este autor, la matemática aplicada busca expresar verdades físicas dentro de un marco matemático, mientras que las matemáticas puras buscan expresar verdades independientes del mundo físico. Para Hardy, la matemática pura es la verdadera matemática, que ostenta un valor estético permanente, una belleza intrínseca que la hacen comparable a la pintura o a la poesía.
Con la expresión matemática pura y sus equivalentes se designa, más que una rama de las matemáticas (como podrían ser el álgebra, la geometría, el análisis, etc.), una modalidad de abordar el estudio de las mismas. Desde un punto de vista práctico e histórico, ambas pueden caracterizarse como enfoques complementarias que se inspiran mutuamente.
Si bien los estudiosos percibieron ambos aspectos desde tiempos inmemoriales, en un principio el interés de las matemáticas estaba dado fundamentalmente por el uso práctico que podía hacerse de las mismas, es decir, el desarrollo de técnicas de cálculo para resolver problemas concretos de mediciones o ligados al comercio, lo que no requería en sí mismo un grado elevado de abstracción.
La locución matemáticas puras (pure mathematics) se acuñó a mediados del siglo XIX en la cátedra de matemática fundada originariamente por Lady Mary Sadlier en la Universidad de Cambridge, Inglaterra.
Desde fines del siglo XIX se hizo evidente que un elevado grado de abstracción era idóneo, y más aún, necesario, para proporcionar herramientas cada vez más poderosas para el manejo y la solución de problemas reales complejos.
Los intentos de formalizar el concepto matemática pura están emparentados con las nociones de axiomatización y el criterio de prueba rigurosa. De acuerdo con la escuela del grupo Bourbaki, la matemática pura se relaciona con lo que está probado.
En el más alto nivel de abstracción posible, Bertrand Russell propone una definición formal general, que según este autor abarca todo tipo de matemática que en la historia de las matemáticas o en el futuro pueda caracterizarse como «pura»:
Conviene agregar que para Bertrand Russell la matemática se deriva de la lógica.
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