Matriz de diagonal estrictamente dominante

En matemáticas, y concretamente en álgebra lineal, una matriz es de diagonal estrictamente dominante, cuando lo es por filas o por columnas.

Formalmente, se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por filas cuando se satisface:

${displaystyle |a_{i,i}|>sum _{j=1,j eq i}^{n}|a_{i,j}|,forall iin mathbb {N} :1leq ileq n}$

Si ${displaystyle A=((a_{i,j})_{i,jin [![1,n]!]})}$ es una matriz de diagonal estrictamente dominante, entonces ${displaystyle A}$ es invertible.

Por Contrarrecíproco. Supongamos que ${displaystyle A}$ no es invertible, entonces su núcleo no se reduce a cero
existe entonces un vector : ${displaystyle X={egin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{n}end{pmatrix}} eq 0}$ tal que ${displaystyle AX=0}$ .
Entonces, se tiene que: ${displaystyle forall iin [![1,n]!], sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0.}$
Como ${displaystyle X eq 0}$, existe ${displaystyle x_{i_{0}} eq 0}$ tal que ${displaystyle |x_{i_{0}}|=max left{{|x_{i}|,iin [![1,n]!]} ight}}$.
Tenemos : ${displaystyle -a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}=sum _{j=1 atop j eq i_{0}}^{n}a_{i_{0},j}x_{j}}$ , de donde ${displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}|leqslant sum _{j=1 atop j eq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}x_{j}|}$ ,
y como : ${displaystyle forall jin [![1,n]!], {frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}leqslant 1}$ ,
se obtiene ${displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}|leqslant sum _{j=1 atop j eq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|{frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}leqslant sum _{j=1 atop j eq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|}$
Finalmente, ${displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}|leqslant sum _{j=1 atop j eq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|}$ , con lo que culmina la demostración.

Podemos enunciar a partir de esta definición el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel:

Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.