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Matriz invertible



En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada de orden se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden , llamada matriz inversa de y denotada por si , donde es la matriz identidad de orden y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna es igual a cero para algún no nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo entonces

y esta está definida siempre y cuando . Así por ejemplo la inversa de la matriz

ya que

Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo:


Sea una matriz de rango máximo

donde es el determinante de y es la matriz de adjuntos de , entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1][2][3][4][5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

Supongamos que y son inversas de

Multiplicando ambas relaciones por

De modo que y se prueba que la inversa es única.

Se probará la doble implicación.

Suponiendo que existe tal que . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

usando la propiedad

Por lo tanto, es distinto de cero.

Suponiendo que el determinante de es distinto de cero, sea es el elemento ij de la matriz y sea la matriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmación es válida por propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación es el determinante de la matriz con la columna igual a la columna y los demás términos iguales a los de . Entonces

donde cuando y cuando . Entonces

Es decir que tiene inversa izquierda

Como , entonces también tiene inversa izquierda que es

Entonces

luego, aplicando la transpuesta

Que es lo que se quería demostrar

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[6]

Esto es posible siempre y cuando , es decir, el determinante de la matriz no es cero.


Ejemplo numérico:

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

Donde es el determinante de y es la matriz de adjuntos de .

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

El conjunto de todas las matrices que admiten inversa se denota es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como . Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además es un conjunto abierto (con la topología inducida de ).


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