Matriz estocástica

En matemáticas, una matriz estocástica (también denominada matriz de probabilidad, matriz de transición, matriz de sustitución o matriz de Markov) es una matriz utilizada para describir las transiciones en una cadena de Markov. Ha encontrado uso en la teoría de la probabilidad, en estadística y en álgebra lineal, así como en informática.

En general, una matriz estocástica se define como sigue

Decimos que una matriz cuadrada ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes n}}$ dada por

${displaystyle A={egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&cdots &a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&cdots &a_{2n}\a_{31}&a_{31}&a_{33}&cdots &a_{3n}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&cdots &a_{nn}end{bmatrix}}}$

es estocástica si

El ejemplo más sencillo de una matriz estocástica es la matriz identidad de tamaño ${displaystyle n imes n}$

${displaystyle I={egin{bmatrix}1&0&0&cdots &0\0&1&0&cdots &0\0&0&1&cdots &0\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&0&cdots &1end{bmatrix}}}$

pues satisface las dos condiciones.

Una matriz ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes n}}$ se dice que es doblemente estocástica si es una matriz estocástica y además ${displaystyle sum limits _{i}a_{ij}=1}$ para cada ${displaystyle j}$ fijo.

De la misma manera, puede definirse un vector estocástico como un vector cuyos elementos están formados por números reales positivos que suman ${displaystyle 1}$. Así, cada fila (o columna) de una matriz estocástica es un vector de probabilidad, también llamados vectores estocásticos.