Matriz positiva definida

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector ${displaystyle a}$ como ${displaystyle a^{T}}$, y el conjugado transpuesto, ${displaystyle a^{*}}$. Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

Nótese que ${displaystyle z^{*}Mz}$ es siempre real.

define un producto interno ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$.

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ por ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

${displaystyle MN=NM}$, entonces ${displaystyle MN}$ es también definida positiva.

La matriz hermitiana ${displaystyle M}$ se dice:

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Una matriz real M puede tener la propiedad x^TMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

es un ejemplo. En general, tendremos x^TMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + M^T) / 2, es definida positiva.

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