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Matriz positiva definida



En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector como , y el conjugado transpuesto, . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

Nótese que es siempre real.

define un producto interno .

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza por , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

, entonces es también definida positiva.

La matriz hermitiana se dice:

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Una matriz real M puede tener la propiedad xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

es un ejemplo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + MT) / 2, es definida positiva.



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