Matriz triangular

En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

Análogamente, se dice que es una matriz triangular inferior una matriz de la forma:

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de upper triangular matrix y L de lower triangular matrix, los nombres que reciben estas matrices en inglés.

Esta matriz es triangular superior:

Esta matriz es triangular inferior:

Esta matriz es triangular superior unitaria, ya que los elementos en su diagonal son 1, la matriz triangular inferior unitaria es análoga:

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma ${displaystyle Ax=b}$, es común usar algún método de factorización para descomponer la matriz A en factores tales que simplifiquen o faciliten la solución del sistema, tenemos por ejemplo la factorización LU que descompone A en dos matrices triangulares, una inferior (Lower) ${displaystyle L}$, y otra superior (Upper) ${displaystyle U}$, tal que ${displaystyle A=LU}$, obteniendo el sistema equivalente ${displaystyle LUx=b}$, que reemplazando ${displaystyle Ux}$ por ${displaystyle y}$ puede resolverse separadamente para ${displaystyle Ly=b}$ y luego para ${displaystyle Ux=y}$.

Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

o

es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como

que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo

De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

La factorización de Cholesky y la factorización LDLT, son otros métodos para descomponer la matriz A en matrices triangulares, aunque estos requieren que la matriz A sea simétrica y adicionalmente para la factorización de Cholesky que sea definida positiva.