Números de Stirling

En matemáticas, los Números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie.

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling de primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:

${displaystyle s(n,k){ ext{ (con signo)}},}$

${displaystyle left[{n atop k} ight]=c(n,k)=|s(n,k)|{ ext{ (sin signo)}},}$

Los números de Stirling de segunda especie se denotan como:

${displaystyle left{{egin{matrix}n\kend{matrix}} ight}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}.,}$

La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

Los números de Stirling de primera especie son los coeficientes s(n,k) de la expansión:

${displaystyle (x)_{n}=sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k},}$

donde ${displaystyle (x)_{n}}$ (símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente,

${displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)cdots (x-n+1),}$

Nótese que (x)₀ = 1 porque es un producto vacío. En combinatoria también se usa la notación ${displaystyle x^{underline {n!}}}$ para el factorial descedente, y ${displaystyle x^{overline {n!}}}$ para el factorial ascendente.^[1]​

Los números de Stirling de primera especie no signados:

${displaystyle c(n,k)=left[{n atop k} ight]=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)}$

(con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos. Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera especie:

${displaystyle {egin{array}{ccccccccccc}&&&&&~~1~~&&&&&\&&&&-1&&~~1~~&&&&\&&&2&&-3&&~~1~~&&&\&&-6&&11&&-6&&~~1~~&&\&24&&-50&&35&&-10&&~~1~~&\-120&&274&&-225&&85&&-15&&~~1~~\end{array}}}$

donde

${displaystyle s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)}$

El número de Stirling de segunda especie ${displaystyle S(n,k)}$ de formas de dividir un conjunto de n elementos en k partes:

${displaystyle S(n,k)={ ext{card}}left({B| { ext{card}}(B)=kland Bsubset mathbb {N} _{n}} ight)}$

donde el conjunto ${displaystyle mathbb {N} _{n}=[1,n]cap mathbb {N} }$ es el conjunto de los primeros n enteros. Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son:

${displaystyle left{{egin{matrix}n\kend{matrix}} ight}:=S(n,k)}$

A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie:

donde:

${displaystyle S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k),}$

Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie:

${displaystyle left[{n atop k} ight]=(-1)^{n-k}sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j choose n-k+j}{2n-k choose n-k-j}left{{n-k+j atop j} ight}}$

Y

${displaystyle left{{n atop k} ight}=(-1)^{n-k}sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j choose n-k+j}{2n-k choose n-k-j}left[{n-k+j atop j} ight].}$