Números decimales

En general, se entiende que un (número) decimal es un número expresado mediante la notación del sistema de numeración decimal. Los números expresados mediante esta notación, se identifican por tener una parte entera, un separador decimal (generalmente "." o ",", dependiendo de la región o país) y una parte fraccionaria o decimal. De acuerdo a esta concepción general, hay representaciones decimales finitas (los números decimales exactos) e infinitas.

Sin embargo, en algunos ámbitos, formalmente se denomina como número decimal a un número que puede ser escrito como el cociente de un número entero divido entre una potencia positiva de 10, lo que también se conoce como fracción decimal. Con base a esa definición, si sólo se toman los cocientes exactos, los números decimales son sólo aquellos que tienen una cantidad finita de cifras en la parte decimal de su representación en el sistema de numeración decimal; es decir, el término "número decimal" se refiere a un número decimal finito o exacto.^[1]​

Por otro lado, en otros ámbitos, regiones y países, dicha definición formal no es utilizada para número decimal, sino sólo para fracción decimal. En esos casos, se concibe a un (número) decimal como aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria. De esta manera, no se excluyen a las representaciones decimales infinitas de los otros números reales (entre ellos los irracionales, como el número ${displaystyle pi }$). En todo caso, cómo presentar y/o enseñar los números decimales ha sido motivo de debáte entre académicos y también por investigadores de la didáctica de las matemáticas.^[2]​

Como se señaló arriba, formalmente se denomina como número decimal a un número que puede ser escrito en forma de fracción decimal, es decir como cociente de un número entero divido entre una potencia positiva de 10; es decir,

un número ${displaystyle d}$ es decimal si existe un número entero ${displaystyle n}$, y un entero no negativo ${displaystyle p}$, tales que ${displaystyle d=n/10^{p}}$.

Como en este caso tal cociente tiene que ser exacto,

los números decimales son aquellos que tienen un número finito de cifras en la parte decimal de su representación decimal.

Esta última propiedad se utiliza frecuentemente como definición, ya que si se cumple, entonces el número es uno que puede ser escrito como fracción decimal.

Más aún, un número decimal (finito) es un número racional con denominador de la forma 2ⁿ5^m, donde m y n son enteros no negativos.

En particular, en Francia, esta es la concepción formal y aceptada de número decimal y se enseña oficialmente^[3]​ el conjunto ${displaystyle mathbb {D} }$ de los números decimales (cuya nomenclatura es atribuida al grupo Bourbaki^[4]​ y el cual corresponde al conjunto de los números decimales exactos):

El conjunto ${displaystyle mathbb {D} }$ de los números decimales es un subconjunto propio del conjunto ℚ de los números racionales y se define como ${displaystyle mathbb {D} =left{{frac {n}{10^{p}}},nin mathbb {Z} ,pin mathbb {N} _{0} ight}}$.

Ejemplos de números decimales (finitos), elementos del conjunto ${displaystyle mathbb {D} }$ (mostrando, no sólo sus representaciones decimales, sino también sus formas como cocientes, tanto con denominadores de potencias positivas de diez, como de la forma 2ⁿ5^m):

Como se señaló al principio, en muchos ámbitos, regiones y países, la definición formal dada arriba es poco utilizada, concibiendo más bien a un (número) decimal como aquel "que consta de una parte entera y una decimal, separadas por un punto o por una coma",^[5]​ es decir, que tiene parte entera y parte fraccionaria.

En particular, en países de habla inglesa, el conjunto ${displaystyle mathbb {D} }$ practicamente nunca es presentado; sin embargo, en esos paises se tiende a distinguir entre numeral decimal o, en inglés, "decimal numeral" (un número escrito utilizando notación decimal, siendo incorrecto llamarlos "números decimales") y fracción decimal. En otros paises, como muchos de habla hispana, en los ámbitos de la educación de nivel básico, es variable la definición utilizada de número decimal: Para un análisis de algunas concepciones principales de los números decimales, reflejadas en libros de texto representativos de los últimos cien años, ver.^[6]​

Si se concibe número decimal como aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria, entonces "número" decimal no necesariamente se restringe a los números decimales finitos. Así pues, un número decimal se conoce informalmente como cualquier número real escrito así, incluyendo los que tienen infinitas cifras decimales periódicas y no periódicas. Así, un número x perteneciente a R escrito usando la representación decimal tiene la siguiente expresión:

donde a es un número entero cualquiera, llamado parte entera, separado por una coma o punto de la parte fraccionaria, en la cual cada uno de los n elementos d_i representa a un dígito: i = 1,2,…,n… y 0 ≤ d_i ≤ 9.^[7]​

En ese caso, hay

La parte entera corresponde a un número entero (es decir que puede ser cero, o un número negativo); la parte decimal o fraccionaria, corresponde al valor decimal situado entre cero y uno.

En la lengua española, en la actualidad se emplean básicamente tres formas de anotar un número con parte decimal, según el signo empleado como separador decimal:

El punto decimal: se emplea un punto (.) para separar la parte entera de la decimal, este método es el utilizado en las calculadoras electrónicas y en los ordenadores, y en países como México, más no así en muchos de los otros países de habla hispana donde rara vez se utiliza en la notación de cifras manualmente:

La coma decimal: se emplea una coma(,) como separador, esta forma es común en las publicaciones de habla hispana (excepto en México) y se utiliza también en las notaciones manuales:

El apóstrofo decimal: el apóstrofo(') en ocasiones también llamado coma decimal o coma alta es una forma de separar la parte decimal de un número en las notaciones a mano; sin embargo, esta forma es incorrecta según la RAE.^[8]​

En todos los casos, las cifras decimales, no se separan en grupos con espacios en blanco u otro signo, sino que se escriben seguidas, sea cual sea el número de cifras decimales que forme la parte decimal del número en cuestión.

Si se toman en cuenta las cifras significativas, el número 0,080 es distinto del número 0,08 aunque representan la misma cantidad:

Un número decimal ${displaystyle x=a,a_{1}a_{2}dots a_{n}dots }$ admite una escritura formal (llamada la representación decimal) con base en series infinitas de fracciones decimales.

Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto.

Ejemplos:

Una fracción decimal no es necesariamente irreducible; sin embargo, todo número decimal finito, no sólo es un cociente exacto de b entre una potencia positiva de 10, sino que puede escribirse como una fracción irreducible de la forma:

con b un entero primo relativo con 5 y 2, y m y n enteros naturales.

La representación decimal de los números reales (y por tanto de todos los números racionales) se basa en el límite de series del tipo

La escritura de los números enteros (excepto el 0) y de los números decimales exactos no es única, si se admiten secuencias recurrentes de 9.

Atendiendo a la definición, y llamando parte entera a la parte a la izquierda del separador decimal y parte decimal a la parte derecha del separador decimal, se puede construir la siguiente clasificación:^[10]​

Cabe destacar que, dado un número racional (exacto, periódico puro, o periódico mixto) expresado como número decimal, es posible obtener su fracción generatriz, es decir, aquella fracción cuyo valor es dicho número racional. Existe un procedimiento distinto para obtener la fracción generatriz de cada uno de los tres casos de un número racional expresado como número decimal.

Los números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras se denominan números decimales exactos. Se pueden escribir como fracción, y por tanto, pertenecen a un subconjunto de los números racionales.

Estos números tienen la particularidad de que su representación decimal no es única. Así, por ejemplo, el número racional ¹/₅ se puede representar mediante el número decimal exacto 0,2 o mediante el número decimal periódico 0,1999..., luego ¹/₅ = 0,2 = 0,1999...

Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número infinito de cifras que se repiten siguiendo un patrón, llamado periodo. Si el patrón comienza inmediatamente después del separador decimal, se denominan números decimales periódicos puros; si el patrón comienza después del anteperíodo, se denominan números decimales periódicos mixtos. Estos números constituyen un subconjunto de los números racionales, y son los que pueden ser expresados en forma de fracción.

Son los números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente, inmediatamente después del separador decimal. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal superior. Por ejemplo:

Son los números decimales en cuya parte decimal hay una parte no periódica, denominada antiperiodo, y otra periódica. La parte periódica se suele señalar con una línea horizontal superior. Por ejemplo:

Al igual que los números decimales periódicos puros, los números decimales mixtos siempre pueden ser expresados en forma de [fracción]; en el caso del ejemplo, la fracción equivalente sería ¹/₆.

Los números decimales no periódicos son los que contienen una parte decimal infinita y que no se repite. Estos números corresponden al conjunto de los números irracionales, y no pueden ser representados por medio de una fracción.

Algunos de ellos son:

Puesto que los irracionales contienen infinitas cifras decimales y ningún período, es usual expresarlos en forma simbólica. Para efectuar cálculos numéricos, se toma el valor decimal numérico con el suficiente número de cifras decimales significativas para la obtención de datos con una determinada precisión, ya sea redondeando o truncando.

Por ejemplo, en el caso del número π, aplicando un truncado a sus primeras cifras, se obtiene:

En el sistema de numeración decimal (de manera general, en un sistema de numeración posicional de base racional), las fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base diez (es decir, 2 y 5), carecerán de representación finita, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta cuando haya al menos un factor primo en común con la base.

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