Operador binario

Se define como operación binaria (o ley de composición)^[1]​^[2]​ aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo ${displaystyle circ }$, es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:^[3]​

Podemos expresar la operación:

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:

y tenemos que:

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

Si a cada par de valores (a, b) de ${displaystyle A}$ la operación le corresponde un valor c de A:

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones ${displaystyle V^{3}}$ y la adición de vectores, se tiene:

que la suma de dos vectores de ${displaystyle V^{3}}$ es otro vector de ${displaystyle V^{3}}$, por ejemplo, dados los vectores:

su suma es:

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

así, dado el vector:

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

así dados los vectores:

su producto escalar será:

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional