Orden lexicográfico

En matemáticas, o más particularmente en Teoría del orden, el orden lexicográfico es una relación de orden definida sobre el producto cartesiano de conjuntos ordenados. Es conocido principalmente por su aplicación a cadenas de caracteres, por ejemplo en diccionarios o en la guía telefónica.

sean ${displaystyle (A,leq _{A})}$ y ${displaystyle (B,leq _{B})}$ dos conjuntos parcialmente ordenados por las relaciones ${displaystyle leq _{A}}$ y ${displaystyle leq _{B}}$, respectivamente, entonces un orden lexicográfico es una relación de orden parcial ${displaystyle leq _{A,B}}$ definida como sigue:

Si ${displaystyle leq _{A}}$ y ${displaystyle leq _{B}}$ son órdenes totales, ${displaystyle leq _{A,B}}$ también es un orden total.

La definición arriba mencionada, que solo define una relación de orden en productos cartesianos de dos conjuntos ordenados, se puede extender a productos cartesianos n-arios, sacando provecho de la definición recursiva de ellos

que solo basa en la aplicación múltiple del producto cartesiano binario.

Una aplicación más general del orden lexicográfico es al comparar cadenas de caracteres. Distinto al caso para los productos cartesianos n-arios mencionados arriba, las cadenas de caracteres no poseen longitud fija. Usando la misma idea de definición recursiva que para el caso anterior, ahora debemos considerar el que una secuencia puede ser más larga que la otra, y que por lo tanto termine de recorrerse mientras que todavía quedan caracteres en la otra.

La secuencia más corta a considerar será la cadena vacía ${displaystyle epsilon }$, es decir:

Así, la definición recursiva queda: