Relación de orden

Una relación de orden o más conocida como "Orden en R" es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.

Sea ${displaystyle A}$ un conjunto dado no vacío y ${displaystyle R}$ una relación binaria definida en ${displaystyle A}$, entonces se dice que ${displaystyle R}$ es una relación de orden^[1]​

Una relación de orden ${displaystyle R}$ sobre un conjunto ${displaystyle A}$ puede denotarse con el par ordenado ${displaystyle (A,R)}$.

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.^[2]​ La inclusión no es una relación de orden total.

Sea ${displaystyle A}$ un conjunto dado, ${displaystyle leq }$ es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de ${displaystyle A}$ se relacionan entre sí, es decir,

${displaystyle forall x,yin A,(xleq y)vee (yleq x)}$.

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.^[3]​

Sea ${displaystyle A}$ un conjunto dado, ${displaystyle leq }$ es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de ${displaystyle A}$ se relacionan entre sí, es decir,

${displaystyle exists x,yin A,}$ tal que ${displaystyle (xleq y)vee (yleq x)}$.

Entonces ${displaystyle ({mathcal {P}}(X),subseteq )}$ es parcialmente ordenado, pues sean

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Una relación de orden parcial ${displaystyle leq }$ sobre un conjunto ${displaystyle X}$ se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, ${displaystyle forall x,yin X}$ tales que ${displaystyle x<y(xleq ywedge x eq y)}$, existe otro ${displaystyle zin X}$ tal que ${displaystyle x<z<y}$.