Par ordenado

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a los elementos a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan tuplas o vectores dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y solo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:

${displaystyle (a,b)=(c,d) { ext{ si y solo si }} a=c { ext{ y }} b=d!}$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3}){ ext{ si y solo si }}a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2}{ ext{ y }}a_{3}=b_{3}}$

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.^[1]​ Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.

La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:^[2]​

${displaystyle (a,b)={{a},{a,b}}!}$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado .^[3]​

La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática: