Paralelepípedo

Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego παραλληλεπίπεδον^[1]​ parallēlepípedon^[2]​ ‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices.

Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.^[3]​

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara.

(1)${displaystyle V=A h,}$

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice.

(2)${displaystyle V=w u v,}$

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando (2 cm)(3 cm)(6 cm) = 36 cm³.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

(3)${displaystyle V=l^{3},}$

En general, si ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$ y ${displaystyle mathbf {c} }$ son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

(4)${displaystyle V=|mathbf {a} cdot (mathbf {b} imes mathbf {c} )|,}$

La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

(5)${displaystyle V=left|det {egin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\b_{1}&b_{2}&b_{3}\c_{1}&c_{2}&c_{3}end{bmatrix}} ight|}$