Polígono tangencial

En geometría euclidiana, un polígono tangencial, también conocido como "polígono circunscrito", es un polígono convexo que contiene una circunferencia inscrita (también llamada "incírculo"). Esta circunferencia es tangente a cada lado del polígono. El polígono dual de un polígono tangencial posee una circunferencia circunscrita que pasa por cada uno de sus vértices.^{[cita requerida]}

Todos los triángulos son tangenciales, al igual que todos los polígonos regulares con cualquier cantidad de lados. Un grupo bien estudiado de polígonos tangenciales son los cuadriláteros circunscritos, que incluyen al rombo y al deltoide.

Un polígono convexo que posee una circunferencia inscrita, bicondicionalmente todos sus ángulos bisectores internos son concurrentes. Este punto en común es el incentro (el centro de la circunferencia inscrita).^[1]​

Existe un polígono tangencial de n lados secuenciales de longitudes a₁, ..., a_n si y solo si el sistema de ecuaciones

tiene una solución (x₁, ..., x_n) real^[2]​ positiva. Si existe tal solución, entonces x₁, ..., x_n son las longitudes de las tangentes del polígono (las longitudes desde los vértices hasta los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a los lados).

Si el número n de lados es impar, entonces para cualquier conjunto dado de longitudes del perímetro ${displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}$ que satisfaga el criterio de existencia anterior, solo hay un polígono tangencial. Pero si n es par, entonces existe una infinitud de ellos.^[3]​^{:p. 389} Por ejemplo, en el caso del cuadrilátero en el que todos los lados son iguales, se puede tener un rombo con cualquier valor de los ángulos agudos, y todos los rombos son tangenciales a una circunferencia inscrita.

Si los n lados de un polígono tangencial son a₁, ... a_n, el inradio (radio de la circunferencia inscrita) es^[4]​

donde K es el área del polígono y s es el semiperímetro. (Dado que todos los triángulos son tangenciales, esta fórmula se aplica a todos los triángulos).

Mientras que todos los triángulos son tangenciales a algún círculo, un triángulo se llama triángulo tangencial de un triángulo dado si los puntos de tangencia del triángulo tangencial con el círculo son también los vértices del triángulo de referencia.

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