Polinomio mínimo

En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p.

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de una matriz nxn A sobre un cuerpo F es el polinomio mónico p(x) sobre F de menor grado tal que p(A)=0. Cualquier otro polinomio q con q(A) = 0 es un múltiplo de p.

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

La multiplicidad de la raíz λ de p(x) es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a λ.

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz ${displaystyle 4I_{n}}$, que tiene como polinomio característico ${displaystyle (x-4)^{n}}$. Sin embargo, el polinomio mínimo es ${displaystyle x-4}$, ya que ${displaystyle 4I-4I=0}$, por lo que son distintos para ${displaystyle ngeq 2}$. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.