Problema de Neumann

En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.^[1]​ Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

donde ${displaystyle alpha _{1}}$ y ${displaystyle alpha _{2}}$ son números dados.

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}}$ tal como:

donde ${displaystyle abla ^{2}}$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

Aquí ${displaystyle mathbf {n} }$ es la normal a la frontera ${displaystyle partial Omega }$ y ${displaystyle f}$ es una función escalar.

La derivada normal ${displaystyle {frac {partial }{partial mathbf {n} }}}$ se define como:

donde ${displaystyle abla }$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

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