Operador de Laplace

En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), donde se hace uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado (${displaystyle abla ^{2}}$) para representarlo. Si ${displaystyle phi ,mathbf {A} }$, son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

${displaystyle Delta phi =( abla cdot abla )phi = abla ^{2}phi qquad qquad Delta mathbf {A} = abla ( abla cdot mathbf {A} )- abla imes ( abla imes mathbf {A} )=( abla cdot abla )mathbf {A} }$

En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja. Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de la teoría de Hodge y los resultados de la cohomología de De Rham.

Una de las motivaciones por las cuales el Laplaciano aparece en numerosas áreas de la física es que las soluciones de la ecuación ${displaystyle Delta f=0}$ en una región U son funciones que minimizan el funcional de energía:

Para ver esto supóngase que ${displaystyle fcolon U o mathbb {R} }$ es una función, y ${displaystyle ucolon U o mathbb {R} }$ es una función que se anula sobre la frontera de U. Entonces,

donde la última igualdad se sigue usando la primera identidad de Green. Este cálculo muestra que si ${displaystyle Delta f=0}$, entonces el funcional de energía E es estacionario alrededor de f. Recíprocamente, si E es estacionario alrededor de f, entonces ${displaystyle Delta f=0}$ por el teorema fundamental del cálculo integral.

Otra razón de su ubicuidad es que cuando uno escribe la ecuación de Laplace en forma diferencias finitas se aprecia que el Laplaciano en un punto es la diferencia entre el valor de la función en el punto y el valor de la función alrededor. Es decir, cualquier magnitud que puede expresarse como una magnitud flujo que se conserva satisface la ecuación de Laplace.

El laplaciano es lineal:

La siguiente afirmación también es cierta:

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una función f es:

${displaystyle Delta f= abla ^{2}f={partial ^{2}f over partial x^{2}}+{partial ^{2}f over partial y^{2}}}$

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

${displaystyle Delta f= abla ^{2}f={partial ^{2}f over partial x^{2}}+{partial ^{2}f over partial y^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}}$

En coordenadas cartesianas en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$:

${displaystyle Delta f(x_{1},...,x_{n})=sum _{k=1}^{n}{partial ^{2}f over partial x_{k}^{2}}}$

En coordenadas cilíndricas ${displaystyle ( ho ,varphi ,z),}$:

${displaystyle Delta f= abla ^{2}f={1 over ho }{partial over partial ho }left( ho {partial f over partial ho } ight)+{1 over ho ^{2}}{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}={partial ^{2}f over partial ho ^{2}}+{1 over ho }{partial f over partial ho }+{1 over ho ^{2}}{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}+{partial ^{2}f over partial z^{2}}.}$

En coordenadas esféricas ${displaystyle (r, heta ,phi ),}$:

${displaystyle Delta f= abla ^{2}f={1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r} ight)+{1 over r^{2}sin heta }{partial over partial heta }left(sin heta {partial f over partial heta } ight)+{1 over r^{2}sin ^{2} heta }{partial ^{2}f over partial phi ^{2}}}$

En coordenadas ortogonales generales ${displaystyle (u_{1},u_{2},u_{3}),}$:

${displaystyle Delta f= abla ^{2}f={frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}left[{frac {partial }{partial u_{1}}}left({frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{frac {partial f}{partial u_{1}}} ight)+{frac {partial }{partial u_{2}}}left({frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{frac {partial f}{partial u_{2}}} ight)+{frac {partial }{partial u_{3}}}left({frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{frac {partial f}{partial u_{3}}} ight) ight]}$

Donde ${displaystyle (h_{1},h_{2},h_{3}),}$ son los factores de escala del sistema de coordenadas, que en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas curvilíneas.

Una función ${displaystyle f:Esubset mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {R} }$ se dice que es armónica en E si:

Ejemplos de funciones armónicas:

El Laplaciano puede ser extendido a funciones definidas sobre superficies, o en forma más general, en variedades de Riemann y variedades seudoriemannianas.

Una extensión del Laplaciano a funciones reales definidas sobre una variedad es el operador de Laplace-Beltrami (denotado ${displaystyle abla ^{2}}$). Se lo define, en forma similar al Laplaciano, como la divergencia del gradiente, donde el gradiente una función f definida en una variedad (seudo)riemaniana y la divergencia de un campo vectorial X sobre la misma vienen dados en componentes por:

${displaystyle ({mbox{grad}} f)^{i}=g^{ij}{frac {partial f}{partial x^{j}}}qquad {mbox{div}} X={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial }{partial x^{j}}}left({sqrt {|g|}}X^{j} ight)}$

Donde: ${displaystyle g^{ij}}$, es tensor 2-contravariante asociado al tensor métrico. ${displaystyle {sqrt {|g|}}}$, es la raíz cuadrada del valor absoluto del determinante del tensor métrico. El operador de Laplace-Beltrami de una función escalar, se obtiene como la divergencia y el gradiente definidos como anteriormente es decir:

${displaystyle abla ^{2}f={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial }{partial x^{k}}}left({sqrt {|g|}}g^{ik}{frac {partial f}{partial x^{i}}} ight)}$

En variedades riemannianas y pseudo-riemannianas existe otra generalización del laplaciano que lo extiende a k-formas, que es la base de la cohomología de Hodge-deRham. Esta extensión llamada operador de Laplace-deRham, y denotado como ${displaystyle {oldsymbol {Delta }}}$, se define en términos de la diferencial exterior (d) y la codiferencial exterior (δ) de k-formas o alternativamente en términos de la diferencial exterior y el operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham se define como:

${displaystyle {oldsymbol {Delta }}alpha =(ddelta +delta d)alpha =(d+delta )^{2}alpha }$

Donde se ha usado que la codiferencial puede reescribirse en términos de la diferencial exterior y el operador dual de Hodge:

${displaystyle delta =(-1)^{n(k+1)+1}*d*;}$

Donde n es la dimensión de la variedad (seudo)riemanniana y k es el orden de la k-forma α.

En ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ el laplaciano puede generalizarse a funciones que no sean diferenciables pero que sean integrables sobre un círculo unidad contenido en cierta región. Así se define el laplaciano generalizado:

${displaystyle {hat {Delta }}u(mathbf {x} )=4liminf _{ ho o 0}{frac {1}{ ho ^{2}}}left[left({frac {1}{2pi ho }}int _{partial Omega _{ ho }(mathbf {x} )}uds ight)-u(mathbf {x} ) ight]}$

Puede demostrarse que para una función ${displaystyle uin {mathcal {C}}^{2}}$ definida en un entorno de ${displaystyle mathbf {x} }$ se tiene que:

${displaystyle {hat {Delta }}u(mathbf {x} )=Delta u(mathbf {x} )}$

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