Raíz de una ecuación

En matemática, se conoce como raíz de un polinomio o cero de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

${displaystyle f(x)=0,}$.

Por ejemplo, dada la función:

${displaystyle f(x)=x^{2}-6x+8,}$

Planteando y resolviendo la ecuación:

${displaystyle 0=x^{2}-6x+8,}$

Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

${displaystyle f(x)=(x-r)f_{1}(x),}$

Entonces se dice que:

${displaystyle f(x)=(x-r)^{n}f_{n}(x),quad {mbox{con}} f_{n}(r) eq 0,}$

Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definida como:

${displaystyle f(x)={egin{cases}exp(-1/x^{2})&x>0\0&x=0end{cases}}}$

Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:

${displaystyle f(x)=(x-0)f_{1}(x)qquad f_{1}(x)={egin{cases}{cfrac {exp(-1/x^{2})}{x^{n}}}&x>0\0&x=0end{cases}}, nin mathbb {N} }$

Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue que esa función no tiene un cero de orden finito.

Dada una función real o compleja el número de raíces es siempre numerable, pudiendo ser cero, número finito o un número infinito numerable.

Weisstein, Eric W. «Raíz». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

---