Regla de Ruffini

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma ${displaystyle (x-r) }$. Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).^[1]​ El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma ${displaystyle (x-r) }$ (siendo r un número entero) si es coherente.

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.

El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.^[2]​ El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;^[3]​ en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).^[4]​ El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.^[5]​

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

${displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}$

entre el binomio:

${displaystyle Q(x)=x-r,!}$

para obtener el cociente:

${displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+cdots +b_{1}x+b_{0}}$

y el resto:

${displaystyle s.!}$

${displaystyle {egin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}\r&{}&{}&{}&{}&{}\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\end{array}}}$

${displaystyle {egin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}\r&{}&b_{n-1},r&{}&{}&{}\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&{}&{}&{}&{}\end{array}}}$

${displaystyle {egin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}\r&{}&b_{n-1},r&{}&{}&{}\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1},r&{}&{}&{}\end{array}}}$

${displaystyle {egin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}\r&{}&b_{n-1},r&dots &b_{1},r&b_{0},r\hline {}&b_{n-1}=a_{n}&b_{n-2}=a_{n-1}+b_{n-1},r&dots &b_{0}=a_{1}+b_{1},r&s=a_{0}+b_{0},r\end{array}}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ${displaystyle R(x)!}$ de grado uno menos que el grado de ${displaystyle P(x)!}$. El residuo es ${displaystyle s.!}$

División de

entre

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe ${displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1),!}$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

2. Multiplicando por la raíz r=(-1):

3. Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

Tomamos

Usamos el método, y nos queda así:

Entonces F(x) se factoriza ${displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}$

División por polinomio con coeficientes complejos:

Tomamos

Usamos el método, y nos queda así:

Si ${displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ es un polinomio con coeficientes enteros y con a₀ y a_n distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a₀ y q es un entero divisor de a_n. Así por ejemplo, si el polinomio es

entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a₀ (−2):

Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.