Señal analítica

La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

La señal analítica ${displaystyle x_{a}(t)}$ se construye a partir de una señal real.^[1]​

Sea ${displaystyle x(t)}$ una señal real cuya transformada de Fourier es ${displaystyle X(omega )}$. Construyamos ahora la siguiente función:

La señal analítica correspondiente a ${displaystyle x(t)}$ es la transformada de Fourier inversa de ${displaystyle X_{a}(omega )}$:

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de ${displaystyle x(t)}$.

Sea ${displaystyle x_{h}(t)={mathcal {H}}{x(t)}}$ la transformada de Hilbert de ${displaystyle x(t)}$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

donde «i» es la unidad imaginaria.

La primera propiedad evidente de la señal analítica ${displaystyle x_{a}(t)}$ es que su parte real es igual a la señal correspondiente:

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo ${displaystyle t}$, podremos calcular una función ${displaystyle A(t)}$ y una función ${displaystyle phi (t)}$ tales que

Para esto basta calcular

y

donde arg es el argumento de un número complejo.