Semigrupo

Semigrupo nació en A.

Un semigrupo es un sistema algebraico de la forma ${displaystyle (A,circledcirc )}$ en la cual A es un conjunto no vacío, ${displaystyle circledcirc }$ es una operación interna definida en A:

Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

En otras palabras, un semigrupo es un magma asociativo. Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna ${displaystyle circledcirc }$ si:

se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales, ${displaystyle N}$ con la operación suma, +. Que se representa: ${displaystyle (N,+),}$.

Podemos ver que '+' es:

Una operación interna, dado que la suma de dos números naturales es otro número natural:

Una operación asociativa:

Y conmutativa:

Luego ${displaystyle (N,+),}$ es semigrupo conmutativo o abeliano.

Otros ejemplos son los formados por el conjunto ${displaystyle Z}$⁺ de los enteros positivos junto con una cualquiera de las siguientes operaciones:

Estos tres son semigrupos abelianos,^[1]​

Considerando S´ ⊂ S donde S es un semigrupo con la operación º, diremos que S´ es un subsemigrupo si xºy está en S´ para cualquier x, y elementos de S´.^[5]​

Un cuasi grupo Q es un sistema de elementos Q(a,b,c,...) en el cual está definida una operación binaria de producto ab tal que, en ab = c cualquiera de los dos de a, b, c determina, de modo único, el tercero como elemento de Q.^[7]​

Un grupo es a la vez un semigrupo y un cuasi grupo.^[7]​

Un lazo es un cuasi grupo con una unidad 1 tal que 1a 0 a1 = a para cualquier elemento a.^[8]​