Semimartingala

Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico ${displaystyle X}$ es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Un proceso ${displaystyle X}$ es una semimartingala total si ${displaystyle X}$ es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que ${displaystyle I_{X}:mathbf {S} o L^{0}}$ es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico ${displaystyle X}$ y un tiempo de parada ${displaystyle t}$, la notación ${displaystyle X^{t}}$ denota al proceso ${displaystyle (X_{tland T})_{tgeq 0}}$ (donde ${displaystyle sland t:=min(s,t)}$, con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Un proceso ${displaystyle X}$ se denomina semimartingala si, para cada ${displaystyle tin [0,infty )}$ el proceso ${displaystyle X^{t}}$ es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración ${displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},({mathcal {F}}_{t})_{tgeq 0},operatorname {P} )}$ se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
${displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$ donde ${displaystyle M}$ es una maritingala local y ${displaystyle A}$ es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ es una semimartingala si cada una de sus componentes ${displaystyle X=(X^{1},dots ,X^{n})}$ es una semimartignala.

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral I_X asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos H_n a H implique solamente la convergencia en probabilidad de I_X(H_n) a I_X(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal ${displaystyle I_{X}:mathbf {S} o L^{0}(Omega )}$ definida por:

donde ${displaystyle mathbf {S} }$ denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre ${displaystyle mathbf {S} }$). En la ecuación anterior el integrando ${displaystyle Hin mathbf {S} }$ es un proceso estocástico que admitiría la representación:

donde:

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad ${displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)}$.

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea ${displaystyle (P_{k})_{kgeq 1}}$ una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una ${displaystyle (P_{k})-}$semimartingala para cada k. Sea ${displaystyle R=sum _{k=1}^{infty }lambda _{k}P_{k}}$, donde ${displaystyle lambda _{k}geq 0}$, y además ${displaystyle sum _{k=1}^{infty }lambda _{k}=1}$. Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.

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