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Semimartingala



Una semimartingala es un tipo de proceso estocástico que aparece frecuentemente en integración estocástica, más específicamente un proceso estocástico es una semimartingala si puede descomponerse como suma de una martingala local y un proceso adaptado y de variación finita.

La clase de todas las martingalas definidas sobre un espacio de probabilidad, en el que se ha definido una filtración de σ-álgebras. Además las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la mayor clase posible de procesos estocásticos respecto a las cuales se puede definir la integral de Itō y la integral de Stratonovich.

Un proceso es una semimartingala total si es un proceso de tipo càdlàg, adaptado y tal que es continuo.

Recúerdese que para un proceso estocástico y un tiempo de parada , la notación denota al proceso (donde , con esa notación se define el concepto general de semimartingala:

Un proceso se denomina semimartingala si, para cada el proceso es una semimartingala total.

Una definición alternativa es la siguiente:

Un proceso estocástico definido sobre la filtración se denomina semimartingala si puede descomponerse en la forma:
donde es una maritingala local y es un proceso adaptado de tipo càdlàg que localmente es de variación acotada.

Un proceso estocástico con valores en es una semimartingala si cada una de sus componentes es una semimartignala.

Sea X un proceso estocástico para el cual se define un operador integral IX asociado a X. Para que dicho operador pueda ser entendido como una "integral" debería cumplir algunos requisitos razonables: debe ser lineal y debería satisfacer cierta versión del teorema de la convergencia acotada. Una forma débil de esta convergencia acotada es que la convergencia uniforme de procesos de una sucesión de procesos Hn a H implique solamente la convergencia en probabilidad de IX(Hn) a IX(H).

A partir de las consideraciones anteriores, dado un proceso X se define una aplicación lineal definida por:

donde denota el espacio de todos los procesos estocásticos simples y predictibles sobre el espacio de probabilidad considerado (con la topología adecuadada sobre ). En la ecuación anterior el integrando es un proceso estocástico que admitiría la representación:

donde:

Esta sección recoge algunos teoremas que aclaran el concepto de semimartingala definida sobre un espacio de probabilidad .

Si Q es una medida de probabilidad y es absolutamente continua respecto a P, entonces toda P-semimartingala X es una Q-semimartingala.

Esta última propiedad se sigue del hecho de que la convergencia en probabilidad respecto a P implica la convergencia respecto a Q, por ser absolutamente continua esta probabilidad respecto de la otra. Otro resultado interesante es el siguiente:

Sea una sucesión de medidas de probabilidad tales que X es una semimartingala para cada k. Sea , donde , y además . Entonces X es una semimartingala con respecto a R también.




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