Serie convergente

En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial formado).

La serie de término general ${displaystyle a_{n}}$ converge cuando la sucesión ${displaystyle (A_{n})_{nin mathbb {N} }}$ de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

Resultan convergentes las series de las secuencias:

Resultan divergentes las series de las secuencias:

(es la conocida como serie armónica);

Si ${displaystyle sum a_{n}}$ es una serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general ${displaystyle |a_{n}|}$ es convergente.

En este caso, la serie ${displaystyle sum a_{n}}$ converge.

La convergencia absoluta resulta de gran interés para el estudio de series con valores en un espacio de Banach (ese es el caso de las series numéricas), donde es suficiente la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente. Esta técnica permite en muchos casos restringir el estudio a las series de términos positivos; para los cuales existen numerosos métodos.

entonces el Criterio de D'Alembert establece que si

entonces, si ${displaystyle L>1}$ la serie es convergente y si ${displaystyle L<1}$ la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).

[1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces ${displaystyle extstyle sum {a_{n}}}$ converge si y sólo si ${displaystyle extstyle int _{1}^{infty }f(x),dx}$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge si y sólo si la integral

converge.

a) ${displaystyle lim _{n ightarrow infty }(-1)^{n}a_{n}=0}$ para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: ${displaystyle |{a_{n}}|geq |a_{n+1}|}$.

Si esto se cumple, la serie ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{a_{n}}}$ es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }|{a_{n}}|}$ antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Son aplicables en caso de disponer de otra serie ${displaystyle sum (b_{n})}$ tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

(de la mayorante o de Gauss)

Si ${displaystyle 0<a_{n}leq b_{n},forall ngeq n_{0}}$

En otro caso no existe información de la serie.

Sean ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{a_{n}}}$ y ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{b_{n}}}$ series de términos no negativos. Si existe

${displaystyle lim _{n ightarrow infty }left({frac {a_{n}}{b_{n}}} ight)=Lin ,[0,+infty )}$, entonces:

Sea ${displaystyle sum x_{n}}$ una serie compleja donde ${displaystyle forall nin mathbb {N} ,x_{n}=alpha _{n}u_{n}}$ tales que:

Entonces ${displaystyle sum x_{n}}$ es convergente.