Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando ${displaystyle n}$ toma valores muy grandes.^[1]​ Se representa mediante:

y se lee límite cuando ${displaystyle n}$ tiende a infinito de ${displaystyle a_{n}}$.^[1]​

Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia. Una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente o alternada.^[2]​

La definición significa que finalmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión (véase distancia).

El término general de una sucesión de Funciones ${displaystyle {,x_{n}}_{ngeq 1}}$ tiene límite ${displaystyle ,l}$, cuando ${displaystyle ,n}$ tiende a ${displaystyle infty }$, si para todo valor ${displaystyle ,varepsilon >0}$ por pequeño que sea, existe un valor ${displaystyle ,n_{0}}$ a partir del cual si ${displaystyle ,n>n_{0}}$ tenemos que la distancia de ${displaystyle ,l}$ a ${displaystyle ,x_{n}}$ es menor que ${displaystyle ,varepsilon }$, es decir:

${displaystyle forall varepsilon >0quad exists ,n_{0}>0quad (nin mathbb {N} land ngeq n_{0}longrightarrow |x_{n}-l|<varepsilon )}$.

${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=l}$ o bien ${displaystyle x_{n}{xrightarrow[{;;n o infty ;;}]{}}l}$

o también

${displaystyle x_{n} {stackrel {d}{longrightarrow }} xquad {mbox{cuando}}quad n o infty }$

o simplemente

${displaystyle x_{n} o x.}$

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo ${displaystyle ell }$ si y solo si

Nótese que es la misma definición que para ${displaystyle mathbb {R} }$, con módulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, ${displaystyle mathbb {C} }$ es también completo).

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones ${displaystyle f_{n}:S o M}$ definidas en un conjunto no vacío ${displaystyle S,}$ con valores en un espacio métrico ${displaystyle (M,d,)}$ converge puntualmente a una función ${displaystyle f:S o M}$ si

${displaystyle lim _{n o infty }f_{n}(x)=f(x)}$

para cada ${displaystyle xin S}$ fijo. Esto significa que

(5)${displaystyle forall xin Squad forall varepsilon >0quad exists ,Nin mathbb {N} quad |quad ngeq N Longrightarrow d(f_{n}(x),f(x))<varepsilon .}$

La sucesión de funciones ${displaystyle f_{n}(x):=x/n,}$ con ${displaystyle xin [0,1]}$ converge puntualmente a la función ${displaystyle f(x):=0,}$ puesto que

${displaystyle leftvert {frac {x}{n}} ightvert leq {frac {1}{n}} o 0}$

para cada ${displaystyle xin [0,1]}$ fijo.

Una sucesión de funciones ${displaystyle f_{n}:S o M}$ definidas en un conjunto no vacío ${displaystyle S,}$ con valores en un espacio métrico ${displaystyle (M,d,)}$ converge uniformemente a una función ${displaystyle f:S o M}$ si para todo ${displaystyle varepsilon >0}$ existe un natural ${displaystyle N,}$ (que depende de ${displaystyle varepsilon }$) tal que

${displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<varepsilon }$

para todo ${displaystyle xin S}$ y todo ${displaystyle ngeq N}$. Es decir,

(6)${displaystyle forall varepsilon >0quad exists ,Nin mathbb {N} quad |quad d(f_{n}(x),f(x))<varepsilon quad forall xin Squad forall ngeq N.}$

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), ${displaystyle N,}$ puede depender de ${displaystyle varepsilon }$ y de ${displaystyle x,}$ mientras que en (6), ${displaystyle N,}$ sólo puede depender de ${displaystyle varepsilon }$. Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones ${displaystyle f_{n}:[0,1] o mathbb {R} }$ definidas por ${displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$. Esta sucesión converge puntualmente a la función

${displaystyle f(x)={egin{cases}0,&{mbox{si}}quad 0leq x<1\1,&{mbox{si}}quad x=1end{cases}}}$

ya que

${displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|=|x^{n}| o 0quad {mbox{si}}quad 0leq x<1}$

mientras que ${displaystyle vert f_{n}(1)-f(1)vert =0.}$ Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para ${displaystyle varepsilon =1/4,}$ no existe un ${displaystyle N,}$ que satisfaga (6).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas ${displaystyle C(Omega ),}$ definidas sobre un compacto ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}.}$ En este caso, una sucesión de funciones ${displaystyle f_{n}in C(Omega ),,}$ converge uniformemente a una función ${displaystyle fin C(Omega ),,}$ si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

${displaystyle f_{n}{stackrel {u}{longrightarrow }} fquad Longleftrightarrow quad f_{n}{stackrel {Vert cdot Vert }{longrightarrow }} f}$

Una sucesión de elementos ${displaystyle {x_{n}},}$ de un espacio métrico ${displaystyle (M,d,)}$ converge a un elemento ${displaystyle xin M}$ si para todo número ${displaystyle varepsilon >0,}$ existe un entero positivo ${displaystyle N,}$ (que depende de ${displaystyle varepsilon }$) tal que

(1)${displaystyle ngeq Nquad Longrightarrow quad d(x_{n},x)<varepsilon .}$

Intuitivamente, esto significa que los elementos ${displaystyle x_{n},}$ de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a ${displaystyle x,}$ si ${displaystyle n,}$ es suficientemente grande, ya que ${displaystyle d(x_{n},x,)}$ determina la distancia entre ${displaystyle x_{n},}$ y ${displaystyle x,}$. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado ${displaystyle (E,Vert cdot Vert ),}$ la norma ${displaystyle Vert cdot Vert }$ induce la métrica ${displaystyle d(x,y):=Vert y-xVert }$ para cada ${displaystyle x,yin E}$; en el caso de un espacio con producto interno ${displaystyle (E,langle cdot ,cdot angle ),}$ el producto interno ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ induce la norma ${displaystyle Vert xVert ={sqrt {langle x,x angle }}}$ para cada ${displaystyle xin E.}$

Una sucesión se dice que converge débilmente a ${displaystyle x}$ o en sentido débil si para toda funcional lineal ${displaystyle f}$, ${displaystyle f(x_{n})}$ converge a ${displaystyle f(x)}$.

Por ejemplo la sucesión ${displaystyle 1/n}$ desde ${displaystyle n=1}$ hasta infinito converge débilmente a cero. Pues:
${displaystyle lim _{n o infty }fleft({frac {1}{n}} ight)=lim _{n o infty }{frac {n}{n}}cdot fleft({frac {1}{n}} ight)=lim _{n o infty }{frac {fleft({frac {n}{n}} ight)}{n}}=lim _{n o infty }{frac {f(1)}{n}}=0}$
Todo esto, pues ${displaystyle f}$ es lineal.

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos ${displaystyle {x_{n}|nin mathbb {N} };}$ en un espacio topológico T:

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes,^{[cita requerida]} pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rⁿ...).

En teoría de la probabilidad existen diferentes nociones de convergencia: convergencia de funciones medibles, convergencia en distribución y límites de variables aleatorias.

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