Serie de Bell

En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética ${displaystyle f}$ y un número primo ${displaystyle p}$, se define la serie de potencias formal ${displaystyle f_{p}(x)}$, llamada serie de Bell de ${displaystyle f}$ módulo ${displaystyle p}$ como:

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$, se tiene que ${displaystyle f=g}$ si y sólo si:

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$, sea ${displaystyle h=f*g}$ su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo ${displaystyle p}$, se tiene que:

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si ${displaystyle f}$ es completamente multiplicativa, entonces:

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.