En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos y el sistema axiomático de la lógica proposicional.
El primer trabajo, en la historia de la matemática, de axiomatización se desplegó en los Elementos de Euclides (siglo IV-III a. C.), vinculado a la geometría plana y algunos aspectos de la aritmética. Euclides enuncia cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremas de la geometría. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón y otros filósofos.
En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números. Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.
Gottlob Frege, en 1884, con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y la posterior Grundgesetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmética a la lógica. Bertrand Russell en su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nombre: «paradoja de Russell», y para resolverla trabajó con Alfred North Whitehead, en Principia Mathematica. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometría, y también explica los conceptos que Euclides dejó implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la línea, etc.
En el Congreso celebrado en 1900, David Hilbert planteó varios problemas, entre los que incluía la demostración de la consistencia de los axiomas de las matemáticas y la axiomatización de la física. En 1931, Kurt Gödel demostró que cualquier sistema axiomático equivalente a los axiomas de Peano es incompleto y que si este sistema es consistente, no se puede utilizar para probar su consistencia (teorema de incompletitud de Gödel).
Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:
Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.
Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos:
Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.
Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una S-estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal bien construido satisface el "teorema de validez", que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los axiomas, o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelos que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de axiomas. Este último punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que afirman que un sistema formal de ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán deducibles. Es decir, la teoría asociada al sistema axiomático formal será esencialmente incompleta.
La teoría de grupos es un sistema axiomático se puede basar en el siguiente conjunto de tres axiomas G1, G2 y G3:
Este conjunto de axiomas no es único, ya que pueden ser substituidos por otros equivalentes. En teoría de grupos el asunto importante es que el conjunto de teoremas sean los mismos en dos axiomatizaciones diferentes. Eso implica que las dos clases de modelos que satisfacen los dos sistemas de axiomas coindiden. Los tres axiomas anteriores pueden escribirse sin usar ninguna lengua natural usando sólo símbolos de un lenguaje de primer orden como:
Donde f debe interpretarse como la función definida sobre GxG que da un elemento de G dando operación de grupo, xi son signos de variables (puede definirse una colección infinita numerable de las mismas) y c1 es una constante que requiere la teoría que se interpretará como el elemento neutro (es decir, los axiomas postulan que dicho elemento existe).
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