Sistema invariante en el tiempo

Un sistema invariante en el tiempo (TIV) posee una función de sistema dependiente del tiempo que no es una función directa del tiempo. Tales sistemas se consideran como una clase particular en el campo del análisis de sistemas. La función del sistema dependiente del tiempo está ligada a una función de entrada dependiente del tiempo. Si esta función depende solo indirectamente del dominio del tiempo (a través de la función de entrada, por ejemplo), entonces ese es un sistema que se consideraría invariante en el tiempo. A la inversa, cualquier dependencia directa del dominio de tiempo de la función del sistema podría considerarse como un "sistema que varía en el tiempo".

Hablando matemáticamente, la "invarianza en el tiempo" de un sistema se define como la siguiente propiedad:^[1]​ ^{:p. 50}

En el lenguaje del procesamiento de señales, esta propiedad puede satisfacerse si la función de transferencia del sistema no es una función directa del tiempo, excepto en lo expresado por la entrada y la salida.

En el contexto de un esquema del sistema, esta propiedad también se puede establecer de la siguiente manera:

Si un sistema invariante en el tiempo también es lineal, forma parte de la teoría invariante en el tiempo lineal con aplicaciones directas en espectroscopia de RMN, sismología, circuitos, procesamiento de señales, teoría del control y otras áreas técnicas. Los sistemas no lineales invariantes en el tiempo carecen de una teoría completa de referencia. Los sistemas discretos invariantes en el tiempo se conocen como sistemas invariantes de cambio. Los sistemas que carecen de la propiedad invariante en el tiempo se estudian como sistemas de variantes en el tiempo.

Para demostrar cómo determinar si un sistema es invariante en el tiempo, considere los dos sistemas:

Dado que el sistema A depende explícitamente de t fuera de ${displaystyle x(t)}$y ${displaystyle y(t)}$, no es invariante en el tiempo. Sin embargo, el sistema B no depende explícitamente de t, por lo que es invariante en el tiempo.

Ahora se presenta una prueba más formal de por qué los sistemas A y B anteriores difieren. Para realizar esta prueba, se utilizará la segunda definición.

Sistema A:

Sistema B:

Más generalmente, la relación entre la entrada y la salida es ${displaystyle y(t)=f(x(t),t)}$, y su variación con el tiempo es.

Para sistemas invariantes en el tiempo, las propiedades del sistema permanecen constantes con el tiempo, ${displaystyle partial f/partial t=0}$. Aplicado a los sistemas A y B anteriores: ${displaystyle f_{A}=tx(t)qquad implies qquad {frac {partial f_{A}}{partial t}}=x(t) eq 0}$en general, así que no es invariante en el tiempo ${displaystyle f_{B}=10x(t)qquad implies qquad {frac {partial f_{B}}{partial t}}=0}$tan invariante en el tiempo.

Podemos denotar el operador de turno por ${displaystyle mathbb {T} _{r}}$donde ${displaystyle r}$ es la cantidad en la que se debe desplazar el conjunto de índices de un vector. Por ejemplo, el sistema "avance por 1"

puede ser representado en esta notación abstracta por

donde ${displaystyle { ilde {x}}}$es una función dada por

con el sistema produciendo la salida desplazada

Así que ${displaystyle mathbb {T} _{1}}$es un operador que avanza el vector de entrada en 1.

Supongamos que representamos un sistema por un operador ${displaystyle mathbb {H} }$. Este sistema es invariante en el tiempo si conmuta con el operador de cambio, es decir,

Si nuestra ecuación de sistema está dada por

entonces es invariante en el tiempo si podemos aplicar el operador del sistema ${displaystyle mathbb {H} }$en ${displaystyle { ilde {x}}}$seguido por el operador de cambio ${displaystyle mathbb {T} _{r}}$, o podemos aplicar el operador de turno ${displaystyle mathbb {T} _{r}}$seguido por el operador del sistema ${displaystyle mathbb {H} }$, con los dos cálculos dando resultados equivalentes.

La aplicación del operador del sistema primero da

La aplicación del operador de cambio primero da

Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces