Sistema iterativo de funciones

Un sistema iterativo de funciones (SIF o IFS acrónimo del inglés Iterated function system) es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilaridad. Muchos fractales clásicos autosimilares, autoafines y autoconformes pueden representarse como el único conjunto compacto invariante por un sistema iterativo de funciones contractivas.

Un sistema iterativo de funciones (SIF) sobre ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (se puede generalizar a cualquier espacio métrico completo) se define a partir de un conjunto finito de contracciones ${displaystyle {F_{1},dots ,F_{n}}}$ con ${displaystyle ngeq 2}$. El carácter contractivo de estas funciones implica que:

${displaystyle |F_{i}(x)-F_{i}(y)|leq r_{i}|x-y|,quad r_{i}<1}$

Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente los anteriores aplicaciones contractivas (iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF).

Estas aplicaciones inducen una aplicación sobre el conjunto de partes del espacio métrico:

${displaystyle F:{mathcal {P}}(X) ightarrow {mathcal {P}}(X),qquad F(A)=igcup _{i=1}^{k}F_{i}(A)}$

Una propiedad fundamental de los SIFs es que existe un "punto fijo" o que es un conjunto compacto E tal que:

${displaystyle E=igcup _{i=1}^{n}F_{i}(E)}$

Observamos que esta condición nos indica que el conjunto es igual a la unión de copias de sí mismo de menor tamaño. Por esa razón, frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del sistema:

${displaystyle sum _{i=1}^{n}r_{i}^{D}=1}$

El conjunto de Cantor puede obtenerse como el "punto fijo" de un sistema iterativo de funciones. Dadas las dos funciones contractivas:

${displaystyle F_{1},F_{2}:mathbb {R} o mathbb {R} ,qquad F_{1}(x):={frac {x}{3}},F_{2}(x):={frac {x}{3}}+{frac {2}{3}}}$

De hecho, el conjunto de Cantor es el único conjunto compacto tal que:

${displaystyle K=F_{1}(K)cup F_{2}(K)}$

Y por tanto su dimensión fractal puede calcularse fácilmente:

${displaystyle r_{1}^{D}+r_{2}^{D}=left({frac {1}{3}} ight)^{D}+left({frac {1}{3}} ight)^{D}=2left({frac {1}{3}} ight)^{D}=1quad Rightarrow quad D={frac {ln 2}{ln 3}}approx 0,630dots }$

Si consideran todos los conjuntos compactos ${displaystyle scriptstyle {mathcal {K}}}$ de un espacio topológico se puede definir un espacio métrico ${displaystyle scriptstyle ({mathcal {K}},d_{H})}$ formado por dichos conjuntos y con la distancia de Hausdorff como función distancia de dicho espacio.

Puede comprobarse que el espacio métrico ${displaystyle scriptstyle ({mathcal {K}},d_{H})}$ es un espacio completo. Todo sistema iterativo de funciones permite definir una contracción en el espacio métrico anterior:

${displaystyle F:{mathcal {K}} o {mathcal {K}},qquad F(K)=cup _{i=1}^{n}F_{i}(K)}$

Esta función es la restricción a conjuntos compactos de la contracción inducida por el SIF. Como toda contracción presenta un punto fijo, la aplicación anterior presenta un "punto fijo" o atractor, es decir, un conjunto compacto invariante por la aplicación anterior. El atractor o punto fijo de la aplicación anterior puede representarse como:

${displaystyle forall Kin {mathcal {K}}:K_{0}=cap _{k=1}^{infty }F_{i}(K),quad K_{0}=F(K_{0})}$

O equivalentemente como límite de la sucesión:

${displaystyle (K,F(K),F(F(K)),dots )}$

Dicho conjunto compacto usualmente es un conjunto fractal. La autosimilitud de K, una de las características de los fractales, se deriva de la condición de "punto fijo":

${displaystyle K_{0}=F(K_{0})quad Leftrightarrow quad K_{0}=F_{1}(K_{0})cup f_{2}(K)cup cdots cup f_{k}(K)}$,

en la que observamos que K estará formado por unión de k copias de sí mismo, posiblemente deformadas, y de menor tamaño (si las aplicaciones son contractivas), que pueden solaparse o no.

Todo SIF tiene un atractor, o conjunto compacto invariante por el SIF que frecuentemente es un objeto fractal. La dimensión de dicho atractor puede calcularse de manera sencilla si se satisface la condición del conjunto abierto (CCA), es decir, que exista un conjunto abierto no vacío ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$ tal que:

${displaystyle cup _{i=1}^{k}F_{i}(U)subset U}$

Muchos fractales clásicos como la curva de Koch o la alfombra de Sierpiński satisfacen la CCA. Si las funciones del SIF son semejanzas, para el cálculo de la dimensión se tiene el siguiente teorema:

Esta última expreisón permite calcular la dimensión fractal (D) del atractor del SIF compuesto de n aplicaciones contractivas de factor de contracción r_i, en caso de que estas no provoquen solapamiento o más generalmente satisfagan la CCA.

Este teorema nos permite encontrar un SIF cuyo atractor esté todo lo próximo que deseemos (en el sentido de la distancia de Hausdorff) o coincida con un conjunto prefijado C.

Para hallar dicho SIF necesitamos encontrar un número suficiente de aplicaciones contractivas tales que la unión (collage) de las imágenes del conjunto bajo estas aplicaciones esté lo suficientemente próxima o coincida con el propio conjunto.

Como ejemplo, para conseguir un SIF cuyo atractor corresponda al conjunto fractal de la figura son necesarias 3 transformaciones:

Simplemente construye los sucesivos conjuntos {A, F(A), F(F(A)),...}. Como dicha sucesión converge al atractor del SIF independientemente del conjunto A de partida, puede usarse cualquier valor inicial, con frecuencia una caja cuadrada.

En este algoritmo, también llamado "juego del caos", un punto que describe una danza aparentemente aleatoria va perfilando progresivamente la estructura del atractor. Para ello, se elige un punto x₀ del espacio métrico y se forma una sucesión del siguiente modo: en cada paso se escoge aleatoriamente y con igual probabilidad

${displaystyle x_{n}in {F_{1}(x_{k-1}),cdots ,F_{k}(x_{k-1})}}$

Se demuestra que la sucesión así formada "converge" al atractor del SIF.

Este algoritmo permite una generalización en que se asignan distintas probabilidades p_i a la hora de escoger cada f_i. Diferentes probabilidades permiten obtener diversas texturas y densidades, útiles para el modelado de escenas naturales. Un SIF en que cada función f_i va acompañada de un número positivo p_i de modo que ${displaystyle p_{1}+cdots +p_{n}=1}$ se denomina SIF con probabilidades.

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