Espacio completo

En análisis matemático un espacio métrico ${displaystyle (X,d)}$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy contenida en ${displaystyle X}$ converge a un elemento de ${displaystyle X}$, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión.

La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a ${displaystyle X}$ y que no esté en ${displaystyle (X,d)}$.

La importancia de los espacios completos radica en que, con frecuencia, para demostrar que una sucesión es convergente es mucho más fácil demostrar que la sucesión es de Cauchy, que demostrar directamente que la sucesión es convergente porque para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge.

Una vez probada que la sucesión es de Cauchy, por la completitud del espacio, se colige que la sucesión converge. Se han podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales con determinadas condiciones iniciales.

Sea (X,d) un espacio métrico. Es completo si y sólo si cualquier sucesión de esferas encajadas cuyos radios tiendan a cero tiene intersección no vacía.

Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea f: X → X una aplicación contractiva en X. Entonces existe un único punto fijo de f.