Subconjunto difuso

Un conjunto difuso o conjunto borroso (en inglés, fuzzy set) es un conjunto que puede contener elementos de forma parcial, es decir, que la propiedad de que un elemento ${displaystyle x}$ pertenezca al conjunto ${displaystyle A}$ (${displaystyle xin A}$) puede ser cierta con un grado parcial de verdad. Este grado de pertenencia es una proposición en el contexto de la lógica difusa, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos valores: cierto o falso.

El grado de pertenencia de ${displaystyle x}$ a ${displaystyle A}$, o el grado de verdad de pertenecer al conjunto, se mide con un número real ${displaystyle mu _{A}(x)}$ comprendido entre 0 y 1, ambos inclusive. De forma rigurosa, el valor correspondiente a cada elemento define una función indicatriz ${displaystyle mu _{A}(x):X ightarrow [0,1]}$, donde ${displaystyle X}$ representa el conjunto universal del que el conjunto ${displaystyle A}$ toma sus elementos. Por ello se suele hablar de subconjuntos difusos y no de conjuntos difusos.

Si el valor de esta función es 0, ${displaystyle x}$ no pertenece a ${displaystyle A}$. Si es 1, entonces ${displaystyle xin A}$ totalmente, y si ${displaystyle 0<mu _{A}(x)<1}$ entonces ${displaystyle x}$ pertenece a ${displaystyle A}$ de una manera parcial.^[1]​

La teoría de los subconjuntos difusos fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos.^[2]​

Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto) fueron inventados para modelar la representación humana de los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

Con los conjuntos difusos se pueden realizar las mismas acciones que con los conjuntos clásicos. Siendo dos conjuntos difusos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ se definen las operaciones usuales:^[3]​

Por lo tanto, un conjunto difuso equivale, en concepto de información, a una familia infinita no numerable de conjuntos clásicos. La teoría de los subconjuntos difusos es por lo tanto muy distinta y mucho más compleja que la teoría de los conjuntos usuales. Por ejemplo, un conjunto finito clásico tiene un número finito de subconjuntos clásicos, pero un número infinito de subconjuntos difusos.

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